sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

QCM Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte.
Le candidat portera sur sa copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Les parties A et B sont indépendantes.

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partie a

1. La limite de f en $+\infty$ est :

   L'axe des abscisses est asymptote à la courbe (C) en $+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

   a.  0

   b.  $-\infty$

   c. $+\infty$

2. Le nombre $f\prime \left(0\right)$ vaut :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe (C) en O. Or la droite (T) passe par le point de coordonnées $\left(1;4\right)$ d'où $f\prime \left(0\right)=4$

   a.  $-\infty$

   b.  0

   c.  4

3. L'inéquation $f\prime \left(x\right)⩾0$ a pour ensemble de solutions :

   La fonction f est croissante sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ donc sur cet intervalle $f\prime \left(x\right)⩾0$

   a.  $\left[0;+\infty \right[$

   b.  $\left[0;2\right]$

   c.  $\left[0;2\right[$

partie b

1. Soit g la fonction définie et dérivable sur $ℝ$ , par $g\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-2x}$. La dérivée de la fonction g est :

   g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $g=uv$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-2x}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}g\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{-2x}-2x{\mathrm{e}}^{-2x}\hfill \\ & =& \left(1-2x\right){\mathrm{e}}^{-2x}\hfill \end{array}$$

   a.  $g\prime \left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-2x}$

   b.  $g\prime \left(x\right)=\left(1-2x\right){\mathrm{e}}^{-2x}$

   c.  $g\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2x}$

2. La valeur exacte de  ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x}$ est :

   $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[-{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-2x}}{2}}\right]}_0^1}\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\left({\mathrm{e}}^{-2}-{\mathrm{e}}^0\right)\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\left({\mathrm{e}}^{-2}-1\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\left(1-{\mathrm{e}}^{-2}\right)\hfill \end{array}$$

   a.  ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left(1-{\mathrm{e}}^{-2}\right)$

   b.  ${\mathrm{e}}^{-2}-1$

   c.  $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(1+{\mathrm{e}}^{-2}\right)$

3. Soit h la fonction définie sur l'intervalle $\left[1;3\right]$ par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. La valeur moyenne de la fonction h sur $\left[1;3\right]$ est :

   La valeur moyenne de la fonction h sur l'intervalle $\left[1;3\right]$ est le réel $$\begin{array}{ccc}\mu ={\displaystyle \frac{1}{3-1}}{\displaystyle {\int }_1^3{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(\ln 3-\ln 1\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 3\hfill \\ & =& \ln \left(\sqrt{3}\right)\hfill \end{array}$$

   a.  $\ln 3$

   b.  ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

   c.  $\ln \left(\sqrt{3}\right)$

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