Baccalauréat novembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un employé se rend à son travail en bus et, soit il n'est pas en retard, c'est-à-dire qu'il est à l'heure ou en avance, soit il est en retard.

Le 1er jour, la probabilité que cet employé arrive en retard est de 0,2. Pour les jours suivants :

  • S'il est en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 0,05.
  • Si l'employé n'est pas en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 0,2.

Pour tout entier naturel n non nul, on note :

  • Rn l'évènement « l'employé est en retard à son travail le n-ième jour ».
  • Hn l'évènement « l'employé n'est pas en retard à son travail le n-ième jour ».

On note également, pour tout entier naturel n non nul :

  • rn la probabilité que l'employé soit en retard le n-ième jour,
  • hn la probabilité que l'employé ne soit pas en retard le n-ième jour,
  • Pn=rnhn la matrice qui traduit l'état probabiliste au n-ième jour.
  1. Déterminer l'état initial P1

    Le 1er jour, la probabilité que cet employé arrive en retard est de 0,2. D'où P1=0,20,8

    1. Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.

      On considère que

      • Si l'employé est en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 0,05 d'où pRnRn+1=0,05 et pRnHn+1=0,95
      • Si l'employé n'est pas en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 0,2 d'où pHnRn+1=0,2 et pHnHn+1=0,8

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

      Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.

      La matrice de transition M de ce graphe telle que Pn+1=Pn×M est : M=0,050,950,20,8.


  2. Quelle est la probabilité que cet employé soit en retard le 3e jour. On donnera le résultat avec une valeur arrondie au centième.

    P3=P1×M2SoitP3=0,20,8×0,050,950,20,82=0,17450,8255

    Arrondie au centième, la probabilité que cet employé soit en retard le 3e jour est 0,17.


  3. Soit P=xy l'état probabiliste stable.

    1. Montrer que x et y vérifient la relation y=0,95x+0,8y.

      P=xy l'état probabiliste stable d'où : xy=xy×0,050,950,20,8xy=0,05x+0,2y0,95x+0,8y

      D'où x et y vérifient la relation y=0,95x+0,8y.


    2. Déterminer l'état stable du système en arrondissant les valeurs au millième. Interpréter ces résultats.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état Pn converge vers un état stable P=xy avec x+y=1 indépendant de l'état initial. D'où x et y sont solutions du système : {y=0,95x+0,8yx+y=1{0,95x-0,2y=0x+y=1{1,15x=0,2x+y=1{x=423y=1923

      L'état stable du système est P=0,1740,826. Sur le long terme, la probabilité que l'employé soit en retard chaque jour est 0,174.



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