sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Déterminer l'état initial $P_1$

   Le 1^er jour, la probabilité que cet employé arrive en retard est de 0,2. D'où $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$

2. 1. Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.

      On considère que

      • Si l'employé est en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 0,05 d'où $p_{R_n}\left(R_{n+1}\right)=\mathrm{0,05}$ et $p_{R_n}\left(H_{n+1}\right)=\mathrm{0,95}$
      • Si l'employé n'est pas en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 0,2 d'où $p_{H_n}\left(R_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$ et $p_{H_n}\left(H_{n+1}\right)=\mathrm{0,8}$

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

   2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.

      La matrice de transition M de ce graphe telle que $P_{n+1}=P_n\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$.

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3. Quelle est la probabilité que cet employé soit en retard le 3^e jour. On donnera le résultat avec une valeur arrondie au centième.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_3=P_1\times M^2& \text{Soit}& P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1745}& \mathrm{0,8255}\end{array}\right)\end{array}$$

   Arrondie au centième, la probabilité que cet employé soit en retard le 3^e jour est 0,17.

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4. Soit $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ l'état probabiliste stable.

   1. Montrer que x et y vérifient la relation $y=\mathrm{0,95}x+\mathrm{0,8}y$.

      $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ l'état probabiliste stable d'où : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,05}x+\mathrm{0,2}y& \mathrm{0,95}x+\mathrm{0,8}y\end{array}\right)\end{array}$$

      D'où x et y vérifient la relation $y=\mathrm{0,95}x+\mathrm{0,8}y$.

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   2. Déterminer l'état stable du système en arrondissant les valeurs au millième. Interpréter ces résultats.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$ indépendant de l'état initial. D'où x et y sont solutions du système : $$\begin{array}{ccccccc}\{\begin{array}{rcl}y& =& \mathrm{0,95}x+\mathrm{0,8}y\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,95}x-\mathrm{0,2}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{1,15}x& =& \mathrm{0,2}\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& {\displaystyle \frac{4}{23}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{19}{23}}\end{array}\end{array}$$

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,174}& \mathrm{0,826}\end{array}\right)$. Sur le long terme, la probabilité que l'employé soit en retard chaque jour est 0,174.

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