Baccalauréat novembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: amérique du sud

exercice 1 ( 3 points ) commun à tous les candidats

QCM Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte.
Le candidat portera sur sa copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé Oıȷ, la courbe représentative (C) d'une fonction définie et dérivable sur 0+. On sait que :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La limite de f en + ∞ est :

     a.  0

     b.  − ∞

     c. + ∞

  2. Le nombre f0 vaut :

     a.  − ∞

     b.  0

     c.  4

  3. L'inéquation fx0 a pour ensemble de solutions :

     a.  0+

     b.  02

     c.  02

partie b

  1. Soit g la fonction définie et dérivable sur , par gx=xe-2x. La dérivée de la fonction g est :

     a.  gx=-2e-2x

     b.  gx=1-2xe-2x

     c.  gx=e-2x

  2. La valeur exacte de  01e-2xdx est :

     a.  121-e-2

     b.  e-2-1

     c.  -121+e-2

  3. Soit h la fonction définie sur l'intervalle 13 par hx=1x. La valeur moyenne de la fonction h sur 13 est :

     a.  ln3

     b.  23

     c.  ln3


exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne le nombre de licenciés à la fédération française de badminton.

Sources : Fédération Française de Badminton
Année2000 200120022003200420052006 200720082009
Rang xi0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nombre de licenciés yi70 58979 049 85 71291 78296 706108 762114 725115 643124 894134 886
  1. Déterminer le pourcentage d'augmentation, arrondi à l'unité, du nombre de licenciés entre les années 2000 et 2009.

  2. Construire le nuage de points Mixiyi dans le plan (P) muni du repère orthogonal, Oıȷ défini de la façon suivante :

    • Sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on prendra 2 cm comme unité.
    • Sur l'axe des ordonnées, on placera 70 000 à l'origine et on prendra 1 cm pour 5 000 licenciés.
    1. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à l'unité.

    2. En utilisant cet ajustement, calculer le nombre de licenciés que l'on peut prévoir en 2012.

  3. On décide d'utiliser comme ajustement la courbe d'équation y=kepx. On suppose que cette courbe passe par les points M070589 et N9134886.
    Déterminer les réels k et p (on arrondira p au millième).

  4. On utilise comme ajustement dans cette question, la courbe d'équation y=70589e0,072x.
    Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre de licenciés en 2012 que l'on donnera arrondi à l'unité.


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pierre pratique la course à pied plusieurs fois par semaine. Il a trois parcours différents, notés A, B et C et deux types de séances d'entraînement : Endurance, notée E et Vitesse, notée V. Chaque fois que Pierre va courir, il choisit un parcours (A, B ou C), puis un type d'entraînement (E ou V).

Si A et B désignent deux évènements d'une même expérience aléatoire, alors on notera A¯ l'évènement contraire de A, pA la probabilité de l'évènement A, et pAB la probabilité de l'évènement B sachant que A est réalisé, avec pA0.

Pierre va courir aujourd'hui. On considère les évènements suivants :

On sait que :

  1. Faire un arbre de probabilité décrivant la situation ci-dessus.

    1. Donner la valeur de pAE.

    2. Calculer pBV.

  2. Déterminer la probabilité que Pierre choisisse le parcours C.

  3. Déterminer la probabilité que Pierre choisisse le parcours A et une séance de vitesse.

  4. On sait que pE=0,7. Montrer que : pEC=0,42.

  5. On sait que Pierre a choisi le parcours C. Quelle est la probabilité qu'il fasse une séance d'endurance ?


exercice 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un employé se rend à son travail en bus et, soit il n'est pas en retard, c'est-à-dire qu'il est à l'heure ou en avance, soit il est en retard.

Le 1er jour, la probabilité que cet employé arrive en retard est de 0,2. Pour les jours suivants :

Pour tout entier naturel n non nul, on note :

On note également, pour tout entier naturel n non nul :

  1. Déterminer l'état initial P1

    1. Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.

    2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.

  2. Quelle est la probabilité que cet employé soit en retard le 3e jour. On donnera le résultat avec une valeur arrondie au centième.

  3. Soit P=xy l'état probabiliste stable.

    1. Montrer que x et y vérifient la relation y=0,95x+0,8y.

    2. Déterminer l'état stable du système en arrondissant les valeurs au millième. Interpréter ces résultats.


exercice 4 ( 7 points ) commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 010 par fx=10lnx+1-x.

partie a

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle 010.

x0 9 10
fx +0|| 
fx

0

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

f9

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

f10

  1. Justifier le sens de variation de f sur l'intervalle 010.

  2. Donner les valeurs de f9 et de f10 arrondies au centième.

  3. Montrer que l'équation fx=10 admet dans l'intervalle 09 une unique solution α. Déterminer un encadrement de α à 10− 2 près.

  4. On considère la fonction F définie et dérivable sur l'intervalle 010 par Fx=10x+10×lnx+1-10x-x22
    Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 010.

partie b

Une entreprise fabrique des puces pour des téléphones portables. Le coût marginal pour une production de x centaines de puces 0x10 est donné en centaines d'euros par fx=10lnx+1-x.

  1. En utilisant la partie A, déterminer le nombre de puces que l'entreprise doit fabriquer pour que le coût marginal soit maximum.

  2. Pour tout réel x de l'intervalle 010, on note Cx le coût total de production, en centaines d'euros, de x centaines de puces.
    On assimile le coût marginal à la dérivée du coût total, c'est-à-dire que, pour tout réel x de l'intervalle 010, Cx=fx.
    Les coûts fixes s'élèvent à 1 500 euros, c'est-à-dire que C0=15. Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle 010, Cx=10x+10×lnx+1-10x-x22+15.

  3. Étudier le sens de variation de la fonction C sur l'intervalle 010.



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