sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1. Déterminer le pourcentage d'augmentation, arrondi à l'unité, du nombre de licenciés entre les années 2000 et 2009.

   Le pourcentage d'augmentation du nombre de licenciés entre les années 2000 et 2009 est : $${\displaystyle \frac{\mathrm{134\; 886}-\mathrm{70\; 589}}{\mathrm{70\; 589}}}\times 100\approx 91$$

   Entre 2000 et 2009, le nombre de licenciés a augmenté d'environ 91 %.

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2. Construire le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ dans le plan (P) muni du repère orthogonal, $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ défini de la façon suivante :

   • Sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on prendra 2 cm comme unité.
   • Sur l'axe des ordonnées, on placera 70 000 à l'origine et on prendra 1 cm pour 5 000 licenciés.

3. 1. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à l'unité.

      La droite d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés, a pour équation $y=6849x+71453$. (coefficients arrondis à l'unité)

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   2. En utilisant cet ajustement, calculer le nombre de licenciés que l'on peut prévoir en 2012.

      Le rang de l'année 2012 est 12. Par conséquent, une estimation du nombre de licenciés que l'on peut prévoir en 2012 est :$$6849\times 12+71453=153641$$

      En 2012, on peut prévoir 153 641 licenciés.

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4. On décide d'utiliser comme ajustement la courbe d'équation $y=k{\mathrm{e}}^{px}$. On suppose que cette courbe passe par les points $M\left(0;70589\right)$ et $N\left(9;134886\right)$.
   Déterminer les réels k et p (on arrondira p au millième).

   k et p sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}k\times {\mathrm{e}}^0=70589\hfill \\ k\times {\mathrm{e}}^{9p}=134886\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}k=70589\hfill \\ 70589\times {\mathrm{e}}^{9p}=134886\hfill \end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{c}k=70589\hfill \\ {\mathrm{e}}^{9p}={\displaystyle \frac{134886}{70589}}\hfill \end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{c}k=70589\hfill \\ 9p=\ln \left({\displaystyle \frac{134886}{70589}}\right)\hfill \end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{c}k=70589\hfill \\ p={\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{134886}{70589}}\right)}{9}}\hfill \end{array}\hfill \end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{134886}{70589}}\right)}{9}}\approx \mathrm{0,072}$

   La courbe d'ajustement a pour équation $y=70589{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,072}x}$

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5. On utilise comme ajustement dans cette question, la courbe d'équation $y=70589{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,072}x}$.
   Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre de licenciés en 2012 que l'on donnera arrondi à l'unité.

   Avec ce nouvel ajustement on trouve : $$70589\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,072}\times 12}\approx 167482$$

   Avec cet ajustement, on peut prévoir 167 482 licenciés en 2012.

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