Baccalauréat novembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $[0; 10]$ par $f (x) = 10 \ln (x + 1) - x$ .

partie a

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle $[0; 10]$ .

x	0		9		10
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$f (x)$	0		$f (9)$		$f (10)$

Justifier le sens de variation de f sur l'intervalle $[0; 10]$ .

Calculons la dérivée $f'$ de la fonction f. Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ : $f' (x) = \frac{10}{x + 1} - 1 = \frac{9 - x}{x + 1}$
Étudions le signe de $f' (x)$
Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , $x + 1 > 0$ . Par conséquent, sur l'intervalle $[0; 10]$ , $f' (x)$ est du même signe que $9 - x$

Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée d'où. D'où le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle $[0; 10]$ .

x	0		9		10
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$f (x)$	0		$f (9)$		$f (10)$

Donner les valeurs de $f (9)$ et de $f (10)$ arrondies au centième.
$f (9) = 10 \ln (10) - 9 \approx 14,03$ et $f (10) = 10 \ln (11) - 10 \approx 13,98$
Montrer que l'équation $f (x) = 10$ admet dans l'intervalle $[0; 9]$ une unique solution α. Déterminer un encadrement de α à 10^{− 2} près.
Sur l'intervalle $[0; 9]$ , la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f (0) < 10 < f (9)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ .
l'équation $f (x) = 10$ admet une unique solution $α \in [0; 9]$ . À l'aide de la calculatrice, on trouve $2,48 < α < 2,49$
On considère la fonction F définie et dérivable sur l'intervalle $[0; 10]$ par $F (x) = (10 x + 10) \times \ln (x + 1) - 10 x - \frac{x^{2}}{2}$
Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $[0; 10]$ .
Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $[0; 10]$ signifie que, pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , $F' (x) = f (x)$ .
- Calculons la dérivée de la fonction g définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $g (x) = (10 x + 10) \times \ln (x + 1)$ .
  f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $g = u v$ d'où $g' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , ${\begin{matrix} u (x) = 10 x + 10 & ; & u' (x) = 10 \\ v (x) = \ln (x + 1) & ; & v' (x) = \frac{1}{x + 1} \end{matrix}$
  Soit pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , $\begin{matrix} g' (x) & = & 10 \ln (x + 1) + \frac{10 x + 10}{x + 1} \\ = & 10 \ln (x + 1) + \frac{10 (x + 1)}{x + 1} \\ = & 10 \ln (x + 1) + 10 \end{matrix}$
- Calculons la dérivée de la fonction F définie par $F (x) = (10 x + 10) \times \ln (x + 1) - 10 x - \frac{x^{2}}{2}$ . Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ : $F' (x) = 10 \ln (x + 1) + 10 - 10 - \frac{2 x}{2} = 10 \ln (x + 1) - x$
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , $F' (x) = f (x)$ donc F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $[0; 10]$ .

partie b

Une entreprise fabrique des puces pour des téléphones portables. Le coût marginal pour une production de x centaines de puces $(0 ⩽ x ⩽ 10)$ est donné en centaines d'euros par $f (x) = 10 \ln (x + 1) - x$ .

En utilisant la partie A, déterminer le nombre de puces que l'entreprise doit fabriquer pour que le coût marginal soit maximum.
D'après les variations de la fonction f, le maximum de la fonction f est atteint pour $x = 9$ .
Le coût marginal est maximum pour la fabrication de 900 puces.
Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , on note $C (x)$ le coût total de production, en centaines d'euros, de x centaines de puces.
On assimile le coût marginal à la dérivée du coût total, c'est-à-dire que, pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , $C' (x) = f (x)$ .
Les coûts fixes s'élèvent à 1 500 euros, c'est-à-dire que $C (0) = 15$ . Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , $C (x) = (10 x + 10) \times \ln (x + 1) - 10 x - \frac{x^{2}}{2} + 15$ .
Le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total, donc la fonction C est la primitive de la fonction f telle que $C (0) = 15$ . Soit pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , $C (x) = F (x) + c$ avec $C (0) = 15$ .
Or $\begin{matrix} C (0) = 15 & \Leftrightarrow & F (0) + c = 15 & \Leftrightarrow & c = 15 \end{matrix}$
C est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , par $C (x) = (10 x + 10) \times \ln (x + 1) - 10 x - \frac{x^{2}}{2} + 15$ .
Étudier le sens de variation de la fonction C sur l'intervalle $[0; 10]$ .
Les variations de la fonction C se déduisent du signe de sa dérivée f.
Or sur l'intervalle $[0; 10]$ , $f (x) ⩾ 0$ .
La fonction coût total C est croissante sur l'intervalle $[0; 10]$ .

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