Baccalauréat novembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 010 par fx=10lnx+1-x.

partie a

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle 010.

x0 9 10
fx +0|| 
fx

0

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

f9

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

f10

  1. Justifier le sens de variation de f sur l'intervalle 010.

    • Calculons la dérivée f de la fonction f. Pour tout réel x de l'intervalle 010 :fx=10x+1-1=9-xx+1

    • Étudions le signe de fx

      Pour tout réel x de l'intervalle 010, x+1>0. Par conséquent, sur l'intervalle 010, fx est du même signe que 9-x

    • Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée d'où. D'où le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle 010.

      x0 9 10
      fx +0|| 
      fx

      0

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      f9

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      f10

  2. Donner les valeurs de f9 et de f10 arrondies au centième.

    f9=10ln10-914,03 et f10=10ln11-1013,98

  3. Montrer que l'équation fx=10 admet dans l'intervalle 09 une unique solution α. Déterminer un encadrement de α à 10− 2 près.

    Sur l'intervalle 09, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et f0<10<f9 alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle ab, alors pour tout réel k compris entre fa et fb, l'équation fx=k admet une solution unique α située dans l'intervalle ab.

    l'équation fx=10 admet une unique solution α09. À l'aide de la calculatrice, on trouve 2,48<α<2,49


  4. On considère la fonction F définie et dérivable sur l'intervalle 010 par Fx=10x+10×lnx+1-10x-x22
    Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 010.

    Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 010 signifie que, pour tout réel x de l'intervalle 010, Fx=fx.

    • Calculons la dérivée de la fonction g définie sur l'intervalle 010 par gx=10x+10×lnx+1.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : g=uv d'où g=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle 010, {ux=10x+10;ux=10vx=lnx+1;vx=1x+1

      Soit pour tout réel x de l'intervalle 010, gx=10lnx+1+10x+10x+1=10lnx+1+10x+1x+1=10lnx+1+10

    • Calculons la dérivée de la fonction F définie par Fx=10x+10×lnx+1-10x-x22. Pour tout réel x de l'intervalle 010 :Fx=10lnx+1+10-10-2x2=10lnx+1-x

    Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle 010, Fx=fx donc F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 010.


partie b

Une entreprise fabrique des puces pour des téléphones portables. Le coût marginal pour une production de x centaines de puces 0x10 est donné en centaines d'euros par fx=10lnx+1-x.

  1. En utilisant la partie A, déterminer le nombre de puces que l'entreprise doit fabriquer pour que le coût marginal soit maximum.

    D'après les variations de la fonction f, le maximum de la fonction f est atteint pour x=9.

    Le coût marginal est maximum pour la fabrication de 900 puces.


  2. Pour tout réel x de l'intervalle 010, on note Cx le coût total de production, en centaines d'euros, de x centaines de puces.
    On assimile le coût marginal à la dérivée du coût total, c'est-à-dire que, pour tout réel x de l'intervalle 010, Cx=fx.
    Les coûts fixes s'élèvent à 1 500 euros, c'est-à-dire que C0=15. Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle 010, Cx=10x+10×lnx+1-10x-x22+15.

    Le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total, donc la fonction C est la primitive de la fonction f telle que C0=15. Soit pour tout réel x de l'intervalle 010, Cx=Fx+c avec C0=15.

    Or C0=15F0+c=15c=15

    C est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle 010, par Cx=10x+10×lnx+1-10x-x22+15.


  3. Étudier le sens de variation de la fonction C sur l'intervalle 010.

    Les variations de la fonction C se déduisent du signe de sa dérivée f.

    Or sur l'intervalle 010, fx0.

    La fonction coût total C est croissante sur l'intervalle 010.



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