sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Faire un arbre de probabilité décrivant la situation ci-dessus.

2. 1. Donner la valeur de $p_A\left(E\right)$.

      Si Pierre choisit le parcours A, alors il fait une séance d'endurance dans 40 % des cas donc $p_A\left(E\right)=\mathrm{0,4}$

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   2. Calculer $p_B\left(V\right)$.

      Si Pierre choisit le parcours B, alors il fait une séance d'endurance dans 80 % des cas donc $p_B\left(E\right)=\mathrm{0,8}$. D'où $p_B\left(V\right)=1-p_B\left(E\right)=\mathrm{0,2}$

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3. Déterminer la probabilité que Pierre choisisse le parcours C.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(A\right)+p\left(B\right)+p\left(C\right)=1& \iff & p\left(C\right)=1-p\left(A\right)-p\left(B\right)\hfill \\ & \text{Soit}& p\left(C\right)=1-\mathrm{0,3}-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,5}\hfill \end{array}$$

   La probabilité que Pierre choisisse le parcours C est égale à 0,5.

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4. Déterminer la probabilité que Pierre choisisse le parcours A et une séance de vitesse.

   Nous avons $p_A\left(E\right)=\mathrm{0,4}$ d'où $p_A\left(V\right)=1-p_A\left(E\right)=\mathrm{0,6}$. D'autre part, $$\begin{array}{ccc}p\left(A\cap V\right)=p_A\left(V\right)\times p\left(A\right)& \text{Soit}& p\left(A\cap V\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,18}\hfill \end{array}$$

   La probabilité que Pierre choisisse le parcours A et une séance de vitesse est égale à 0,18.

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5. On sait que $p\left(E\right)=\mathrm{0,7}$. Montrer que : $p\left(E\cap C\right)=\mathrm{0,42}$.

   Les évènements A, B et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{ccc}p\left(E\right)=p\left(A\cap E\right)+p\left(B\cap E\right)+p\left(C\cap E\right)& \iff & p\left(C\cap E\right)=p\left(E\right)-p\left(A\cap E\right)-p\left(B\cap E\right)\end{array}$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(A\cap E\right)=p_A\left(E\right)\times p\left(A\right)& \text{Soit}& p\left(A\cap E\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,12}\hfill \\ \text{et}& p\left(B\cap E\right)=p_B\left(E\right)\times p\left(B\right)& \text{Soit}& p\left(B\cap E\right)=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,16}\hfill \end{array}$$

   D'où $$p\left(C\cap E\right)=\mathrm{0,7}-\mathrm{0,12}-\mathrm{0,16}=\mathrm{0,42}$$

   La probabilité que Pierre choisisse le parcours C et une séance d'endurance est égale à 0,42.

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6. On sait que Pierre a choisi le parcours C. Quelle est la probabilité qu'il fasse une séance d'endurance ?

   $$\begin{array}{ccc}{p}_C\left(E\right)={\displaystyle \frac{p\left(C\cap E\right)}{p\left(A\right)}}& \text{Soit}& p_C\left(E\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,42}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{0,84}\end{array}$$

   Si Pierre choisit le parcours C la probabilité qu'il fasse une séance d'endurance est égale à 0,84.

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