sujet : France Métropolitaine

Corrigé de de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes) une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.

La fonction f est définie sur l'ensemble des nombres réels par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-x+1$.
On admet qu'elle est dérivable sur l'ensemble des nombres réels. On appelle Γ la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal.

1. L'image de $\ln 2$ par la fonction f est :

   $$f\left(\ln 2\right)={\mathrm{e}}^{\ln 2}-\ln 2+1=2-\ln 2+1=3-\ln 2$$

   ${\displaystyle \frac{1}{2}}+\ln 2$

   $-1+\ln 2$

   $3-\ln 2$

   $1-2\ln 2$

2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Γ au point d'abscisse 1 est :

   Soit $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Γ au point d'abscisse 1 est égal au nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x-1& \text{D'où}& f\prime \left(1\right)=\mathrm{e}-1\end{array}$$

   $\mathrm{e}-1$

   e

   $1-\mathrm{e}$

   0

3. La limite de la fonction f en $-\infty$ est :

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x-x+1=+\infty$

   $-\infty$

   0

   $+\infty$

   1

4. Une primitive sur l'ensemble des nombres réels de la fonction f est la fonction F définie sur l'ensemble des nombres réels par :

   $F\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-1$

   $F\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x$

   $F\left(x\right)={\mathrm{e}}^{2x}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x$

   $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{2x}-1$

5. L'inéquation $f\left(x\right)⩽1$ admet sur l'ensemble des nombres réels :

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^x-x+1⩽1& \iff & {\mathrm{e}}^x-x⩽0\end{array}$$

   Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>x$. D' où pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x-x+1>1$. Soit $f\left(x\right)>1$

   Donc l'inéquation $f\left(x\right)⩽1$ n'admet aucune solution.

   Aucune solution

   Une solution

   Deux solutions

   Trois solutions

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