sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. À l'aide de l'énoncé, construire un arbre de probabilité décrivant la situation. Il sera complété au cours de la résolution de l'exercice.

   • 90 % des tissus passent le contrôle sur la texture avec succès. D'où $p\left(T\right)=\mathrm{0,9}$ et $p\left(\overline{T}\right)=\mathrm{0,1}$
   • Parmi ceux qui ne passent pas avec succès ce premier contrôle, 40 % ont passé le deuxième contrôle sur la couleur avec succès. D'où $p_{\overline{T}}\left(C\right)=\mathrm{0,4}$ et $p_{\overline{T}}\left(\overline{C}\right)=\mathrm{0,6}$

   D'où l'arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé :

2. Démontrer que $p_T\left(C\right)={\displaystyle \frac{8}{9}}$.

   80 % des tissus sortant de cette entreprise sont déclarés de « qualité supérieure ». D'où $p\left(S\right)=\mathrm{0,8}$ soit $p\left(T\cap C\right)=\mathrm{0,8}$.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_T\left(C\right)={\displaystyle \frac{p\left(T\cap C\right)}{p\left(T\right)}}& \text{soit}& p_T\left(C\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,9}}}={\displaystyle \frac{8}{9}}\end{array}$$

   Ainsi $p_T\left(C\right)={\displaystyle \frac{8}{9}}$.

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3. Interpréter l'évènement $\overline{T}\cap \overline{C}$ , puis calculer la probabilité de cet évènement.

   $\overline{T}\cap \overline{C}$ est l'évènement « l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès chacun des deux contrôles ».

   $$\begin{array}{cccc}& p\left(\overline{T}\cap \overline{C}\right)=p_{\overline{T}}\left(\overline{C}\right)\times p\left(\overline{T}\right)\hfill & \text{soit}& p\left(\overline{T}\cap \overline{C}\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,06}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la probabilité que l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès chacun des deux contrôles est égale à 0,06.

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4. Démontrer que la probabilité de l'évènement : « l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès le contrôle sur la couleur » est égale à 0,16.

   Les évènements T et C sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(\overline{C}\right)=p\left(T\cap \overline{C}\right)+p\left(\overline{T}\cap \overline{C}\right)$$

   Or : $p_T\left(C\right)={\displaystyle \frac{8}{9}}$ d'où $p_T\left(\overline{C}\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}$ et $$\begin{array}{cccc}& p\left(T\cap \overline{C}\right)=p_T\left(\overline{C}\right)\times p\left(T\right)\hfill & \text{soit}& p\left(T\cap \overline{C}\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}\times \mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}\hfill \end{array}$$

   Donc $$p\left(\overline{C}\right)=\mathrm{0,1}+\mathrm{0,06}=\mathrm{0,16}$$

   La probabilité de l'évènement : « l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès le contrôle sur la couleur » est égale à 0,16.

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