Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Le service qualité d'une entreprise textile contrôle systématiquement la texture et la couleur des tissus qu'elle produit.
Pour être déclaré de « qualité supérieure » un tissu doit subir avec succès les deux contrôles : le premier sur la texture, le second sur la couleur.

À cette fin, le service qualité effectue une étude statistique sur la production d'un mois. Cette étude a montré que :

  • 90 % des tissus passent le contrôle sur la texture avec succès.
  • Parmi ceux qui ne passent pas avec succès ce premier contrôle, 40 % ont passé le deuxième contrôle sur la couleur avec succès.
  • 80 % des tissus sortant de cette entreprise sont déclarés de « qualité supérieure ».

Une machine de contrôle de qualité prélève au hasard un échantillon d'un des tissus produits par cette entreprise pendant le mois d'étude.
On considère les évènements suivants :

  • T : « l'échantillon de tissu prélevé passe avec succès le premier contrôle sur la texture » ;
  • C : « l'échantillon de tissu prélevé passe avec succès le deuxième contrôle sur la couleur » ;
  • S : « l'échantillon de tissu prélevé est déclaré de qualité supérieure ».

Ainsi S=TC

rappels de notation : Soient A et B deux évènements :

  • la probabilité de l'évènement A est notée p(A) ;
  • si p(B)0, pB(A) désigne la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement A est réalisé ;
  • l'évènement contraire de l'évènement A est noté A¯.
  1. À l'aide de l'énoncé, construire un arbre de probabilité décrivant la situation. Il sera complété au cours de la résolution de l'exercice.

    • 90 % des tissus passent le contrôle sur la texture avec succès. D'où p(T)=0,9 et p(T¯)=0,1
    • Parmi ceux qui ne passent pas avec succès ce premier contrôle, 40 % ont passé le deuxième contrôle sur la couleur avec succès. D'où pT¯(C)=0,4 et pT¯(C¯)=0,6

    D'où l'arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé :

    Arbre de probabilité : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Démontrer que pT(C)=89.

    80 % des tissus sortant de cette entreprise sont déclarés de « qualité supérieure ». D'où p(S)=0,8 soit p(TC)=0,8.

    pT(C)=p(TC)p(T)soitpT(C)=0,80,9=89

    Ainsi pT(C)=89.


  3. Interpréter l'évènement T¯C¯ , puis calculer la probabilité de cet évènement.

    T¯C¯ est l'évènement « l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès chacun des deux contrôles ».

    p(T¯C¯)=pT¯(C¯)×p(T¯)soitp(T¯C¯)=0,6×0,1=0,06

    Ainsi, la probabilité que l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès chacun des deux contrôles est égale à 0,06.


  4. Démontrer que la probabilité de l'évènement : « l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès le contrôle sur la couleur » est égale à 0,16.

    Les évènements T et C sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    p(C¯)=p(TC¯)+p(T¯C¯)

    Or : pT(C)=89 d'où pT(C¯)=19 et p(TC¯)=pT(C¯)×p(T)soitp(TC¯)=19×0,9=0,1

    Donc p(C¯)=0,1+0,06=0,16

    La probabilité de l'évènement : « l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès le contrôle sur la couleur » est égale à 0,16.



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