Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: France Métropolitaine

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes) une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.

La fonction f est définie sur l'ensemble des nombres réels par fx=ex-x+1.
On admet qu'elle est dérivable sur l'ensemble des nombres réels. On appelle Γ la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal.

  1. L'image de ln2 par la fonction f est :

    • 12+ln2
    • -1+ln2
    • 3-ln2
    • 1-2ln2
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Γ au point d'abscisse 1 est :

    • e-1
    • e
    • 1-e
    • 0
  3. La limite de la fonction f en − ∞ est :

    • − ∞
    • 0
    • + ∞
    • 1
  4. Une primitive sur l'ensemble des nombres réels de la fonction f est la fonction F définie sur l'ensemble des nombres réels par :

    • Fx=ex-1
    • Fx=ex-12x2+x
    • Fx=e2x-12x2+x
    • Fx=12e2x-1
  5. L'inéquation fx1 admet sur l'ensemble des nombres réels :

    • Aucune solution
    • Une solution
    • Deux solutions
    • Trois solutions

EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau ci-dessous donne la structure du parc automobile français (véhicules particuliers et véhicules utilitaires) au premier janvier de chaque année, entre 2001 et 2009, en millions de véhicules.

Source: CCFA (statistiques de la construction automobile) juin 2010
Année 200120022003200420052006200720082009
Rang xi123456789
Nombre de voitures yi33,81334,59735,14435,62836,03936,29836,66137,03337,212

Le nuage de points Mixiyi pour i entier variant de 1 à 9, est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal.

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a : un premier ajustement

L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement affine.

  1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite D d'ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients a et b seront arrondis à 10− 3).

  2. Tracer sur l'annexe à rendre avec la copie, la droite D d'ajustement affine.

partie b : un deuxième ajustement

La fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle 113 par :fx=-0,03x2+0,712x+33,222. On suppose que f modélise sur l'intervalle 113 l'évolution du nombre de véhicules du parc automobile exprimé en millions.

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle 113.

  2. Tracer sur l'annexe à rendre avec la copie, dans le même repère, la courbe C représentative de la fonction f.

partie c : comparaison des deux ajustements

Le premier janvier 2010, le nombre de véhicules du parc automobile était de 37,438 millions.
Lequel de ces deux ajustements donne l'estimation la plus proche de la réalité ?


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour jouer sur internet à un certain jeu la souscription d'un abonnement annuel est obligatoire.
À partir d'un sondage, on prévoit que :

  1. Au premier janvier 2012, on comptait 50 000 abonnés à ce jeu en ligne.
    Selon ce modèle, justifier qu'au premier janvier 2013 le nombre d'abonnés sera égal à 60 000.

    1. Justifier que le nombre d'abonnés au premier janvier de l'année 2012 + n est modélisé par la suite an définie par : {a0=50 000an+1=0,8an+20 000pour tout entier naturel  n

    2. Calculer a2 et a3.

    3. Sur le graphique situé en annexe, à rendre avec la copie, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal les droites D d'équation y=x et Δ d'équation y=0,8x+20 000.
      Sur l'axe des abscisses, représenter a0 puis construire a1, a2, a3, a4 en utilisant les représentations graphiques des deux droites précédentes. Laisser apparents les traits de construction.

    4. En s'appuyant sur une observation graphique, émettre une conjecture sur la limite de la suite an

  2. On admet que pour tout nombre entier naturel n, an=100 000-50 000×0,8n.

    1. Déterminer la limite de la suite an

    2. Toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

      En utilisant ce modèle, donner une estimation de l'année à partir de laquelle, au premier janvier, le nombre d'abonnés à ce jeu sera supérieur à 95 000.


exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Le service qualité d'une entreprise textile contrôle systématiquement la texture et la couleur des tissus qu'elle produit.
Pour être déclaré de « qualité supérieure » un tissu doit subir avec succès les deux contrôles : le premier sur la texture, le second sur la couleur.

À cette fin, le service qualité effectue une étude statistique sur la production d'un mois. Cette étude a montré que :

Une machine de contrôle de qualité prélève au hasard un échantillon d'un des tissus produits par cette entreprise pendant le mois d'étude.
On considère les évènements suivants :

Ainsi S=TC

rappels de notation : Soient A et B deux évènements :

  1. À l'aide de l'énoncé, construire un arbre de probabilité décrivant la situation. Il sera complété au cours de la résolution de l'exercice.

  2. Démontrer que pTC=89.

  3. Interpréter l'évènement T¯C¯ , puis calculer la probabilité de cet évènement.

  4. Démontrer que la probabilité de l'évènement : « l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès le contrôle sur la couleur » est égale à 0,16.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Une coopérative fabrique une huile précieuse qu'elle commercialise au prix de 100 euros le litre. Sa capacité maximale de production journalière est de 10 litres.

Le coût de production journalier pour la fabrication de cette huile précieuse est modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle 010 par : Cx=300lnx+1x désigne la quantité d'huile produite exprimée en litres et Cx son coût de production journalier exprimé en euros.

La recette journalière de cette coopérative est modélisée par la fonction R définie sur l'intervalle 010 par : Rx=100xx  désigne la quantité d'huile exprimée en litre, produite et vendue, et Rx sa recette journalière exprimée en euros.

On suppose que toute la production d'un jour est vendue le même jour.

  1. Étudier le sens de variation de la fonction C sur l'intervalle 010.

  2. Construire, sur une feuille de papier millimétré à rendre avec la copie, Γ et Γ' les représentations graphiques respectives des fonctions C et R dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
    1 cm pour un litre sur l'axe des abscisses,
    1 cm pour 100 euros sur l'axe des ordonnées.

  3. La fonction B est définie sur l'intervalle 010 par Bx=Rx-Cx. Elle est dérivable sur l'intervalle 010, et on note B sa fonction dérivée.

    1. Établir que, pour tout nombre réel x de l'intervalle 010, Bx=100x-200x+1

    2. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle 010.

    3. Démontrer que l'équation Bx=0 admet une unique solution α dans l'intervalle 210. Donner une valeur approchée du nombre réel α à 10− 1 près.

    4. En déduire l'étude du signe de la fonction B sur l'intervalle 010.

  4. Lorsque Bx est positif, l'entreprise réalise un bénéfice. Lorsque Bx est négatif, l'entreprise est en déficit.

    1. Déterminer la quantité journalière minimale d'huile, au décilitre près, à produire et à vendre pour que la coopérative réalise un bénéfice journalier positif.

    2. Préciser, à l'euro près, le bénéfice journalier maximal que peut réaliser cette coopérative.

    3. À l'aide du graphique tracé à la question 2, interpréter les résultats des questions 4 a et 4 b.



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✉ A.Yallouz

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