Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes) une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.
La fonction f est définie sur l'ensemble des nombres réels par .
On admet qu'elle est dérivable sur l'ensemble des nombres réels. On appelle Γ la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal.
L'image de par la fonction f est :
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Γ au point d'abscisse 1 est :
e | 0 |
La limite de la fonction f en est :
0 | 1 |
Une primitive sur l'ensemble des nombres réels de la fonction f est la fonction F définie sur l'ensemble des nombres réels par :
L'inéquation admet sur l'ensemble des nombres réels :
Aucune solution | Une solution | Deux solutions | Trois solutions |
Le tableau ci-dessous donne la structure du parc automobile français (véhicules particuliers et véhicules utilitaires) au premier janvier de chaque année, entre 2001 et 2009, en millions de véhicules.
Année | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 |
Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Nombre de voitures | 33,813 | 34,597 | 35,144 | 35,628 | 36,039 | 36,298 | 36,661 | 37,033 | 37,212 |
Le nuage de points pour i entier variant de 1 à 9, est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal.
L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement affine.
À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite D d'ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients a et b seront arrondis à 10− 3).
Tracer sur l'annexe à rendre avec la copie, la droite D d'ajustement affine.
La fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle par :. On suppose que f modélise sur l'intervalle l'évolution du nombre de véhicules du parc automobile exprimé en millions.
Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle .
Tracer sur l'annexe à rendre avec la copie, dans le même repère, la courbe C représentative de la fonction f.
Le premier janvier 2010, le nombre de véhicules du parc automobile était de 37,438 millions.
Lequel de ces deux ajustements donne l'estimation la plus proche de la réalité ?
Pour jouer sur internet à un certain jeu la souscription d'un abonnement annuel est obligatoire.
À partir d'un sondage, on prévoit que :
Au premier janvier 2012, on comptait 50 000 abonnés à ce jeu en ligne.
Selon ce modèle, justifier qu'au premier janvier 2013 le nombre d'abonnés sera égal à 60 000.
Justifier que le nombre d'abonnés au premier janvier de l'année 2012 + n est modélisé par la suite définie par :
Calculer et .
Sur le graphique situé en annexe, à rendre avec la copie, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal les droites D d'équation et Δ d'équation .
Sur l'axe des abscisses, représenter puis construire , , , en utilisant les représentations graphiques des deux droites précédentes. Laisser apparents les traits de construction.
En s'appuyant sur une observation graphique, émettre une conjecture sur la limite de la suite
On admet que pour tout nombre entier naturel n, .
Déterminer la limite de la suite
Toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
En utilisant ce modèle, donner une estimation de l'année à partir de laquelle, au premier janvier, le nombre d'abonnés à ce jeu sera supérieur à 95 000.
Le service qualité d'une entreprise textile contrôle systématiquement la texture et la couleur des tissus qu'elle produit.
Pour être déclaré de « qualité supérieure » un tissu doit subir avec succès les deux contrôles : le premier sur la texture, le second sur la couleur.
À cette fin, le service qualité effectue une étude statistique sur la production d'un mois. Cette étude a montré que :
Une machine de contrôle de qualité prélève au hasard un échantillon d'un des tissus produits par cette entreprise pendant le mois d'étude.
On considère les évènements suivants :
Ainsi
rappels de notation : Soient A et B deux évènements :
À l'aide de l'énoncé, construire un arbre de probabilité décrivant la situation. Il sera complété au cours de la résolution de l'exercice.
Démontrer que .
Interpréter l'évènement , puis calculer la probabilité de cet évènement.
Démontrer que la probabilité de l'évènement : « l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès le contrôle sur la couleur » est égale à 0,16.
Une coopérative fabrique une huile précieuse qu'elle commercialise au prix de 100 euros le litre. Sa capacité maximale de production journalière est de 10 litres.
Le coût de production journalier pour la fabrication de cette huile précieuse est modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle par : où x désigne la quantité d'huile produite exprimée en litres et son coût de production journalier exprimé en euros.
La recette journalière de cette coopérative est modélisée par la fonction R définie sur l'intervalle par : où x désigne la quantité d'huile exprimée en litre, produite et vendue, et sa recette journalière exprimée en euros.
On suppose que toute la production d'un jour est vendue le même jour.
Étudier le sens de variation de la fonction C sur l'intervalle .
Construire, sur une feuille de papier millimétré à rendre avec la copie, Γ et Γ' les représentations graphiques respectives des fonctions C et R dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
La fonction B est définie sur l'intervalle par . Elle est dérivable sur l'intervalle , et on note sa fonction dérivée.
Établir que, pour tout nombre réel x de l'intervalle ,
Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle .
Démontrer que l'équation admet une unique solution α dans l'intervalle . Donner une valeur approchée du nombre réel α à 10− 1 près.
En déduire l'étude du signe de la fonction B sur l'intervalle .
Lorsque est positif, l'entreprise réalise un bénéfice. Lorsque est négatif, l'entreprise est en déficit.
Déterminer la quantité journalière minimale d'huile, au décilitre près, à produire et à vendre pour que la coopérative réalise un bénéfice journalier positif.
Préciser, à l'euro près, le bénéfice journalier maximal que peut réaliser cette coopérative.
À l'aide du graphique tracé à la question 2, interpréter les résultats des questions 4 a et 4 b.
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