Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour jouer sur internet à un certain jeu la souscription d'un abonnement annuel est obligatoire.
À partir d'un sondage, on prévoit que :

80 % des abonnés renouvellent chaque année leur abonnement,
le nombre de nouveaux abonnés sera de 20 000 tous les ans.

Au premier janvier 2012, on comptait 50 000 abonnés à ce jeu en ligne.
Selon ce modèle, justifier qu'au premier janvier 2013 le nombre d'abonnés sera égal à 60 000.
Au premier janvier 2013 le nombre d'abonnés sera égal à : $50 000 \times 0,8 + 20 000 = 60 000$
Au premier janvier 2013 le nombre d'abonnés sera égal à 60 000.
1. Justifier que le nombre d'abonnés au premier janvier de l'année 2012 + n est modélisé par la suite $(a_{n})$ définie par : ${\begin{matrix} a_{0} = 50 000 \\ a_{n + 1} = 0,8 a_{n} + 20 000 & pour tout entier naturel n \end{matrix}$
  Au premier janvier 2012, on comptait 50 000 abonnés d'où $a_{0} = 50 000$
  D'une année sur l'autre, 80 % des abonnés renouvellent chaque année leur abonnement auquel s'ajoutent 20 000 nouveaux abonnés d'où $a_{n + 1} = 0,8 a_{n} + 20 000$
  $(a_{n})$ est la suite définie par $a_{0} = 50 000$ et pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,8 a_{n} + 20 000$ .
2. Calculer $a_{2}$ et $a_{3}$ .
  $\begin{matrix} a_{2} = 0,8 a_{1} + 20 000 & Soit & a_{2} = 0,8 \times 60 000 + 20 000 = 68 000 \\ a_{3} = 0,8 a_{2} + 20 000 & Soit & a_{3} = 0,8 \times 68 000 + 20 000 = 74 400 \end{matrix}$
  $a_{2} = 68 000$ et $a_{3} = 74 400$ .
3. Sur le graphique situé en annexe, à rendre avec la copie, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal les droites D d'équation $y = x$ et Δ d'équation $y = 0,8 x + 20 000$ .
  Sur l'axe des abscisses, représenter $a_{0}$ puis construire $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ en utilisant les représentations graphiques des deux droites précédentes. Laisser apparents les traits de construction.
4. En s'appuyant sur une observation graphique, émettre une conjecture sur la limite de la suite $(a_{n})$
  Graphiquement, la suite $(a_{n})$ semble converger vers l'abscisse du point d'intersection des droites D et Δ : $\begin{array}{l} 0,8 x + 20 000 = x & \Leftrightarrow & 0,2 x = 20 000 \\ \Leftrightarrow & x = 100 000 \end{array}$
  Si, la suite $(a_{n})$ admet une limite finie quand n tend vers $+ \infty$ alors cette limite est égale à 100 000.
On admet que pour tout nombre entier naturel n, $a_{n} = 100 000 - 50 000 \times {0,8}^{n}$ .
1. Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$
  $0 < 0,8 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,8}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 100 000 - 50 000 \times {0,8}^{n} = 100 000$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 100 000$ .
  La suite $(a_{n})$ converge vers 100 000.
2. Toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
  En utilisant ce modèle, donner une estimation de l'année à partir de laquelle, au premier janvier, le nombre d'abonnés à ce jeu sera supérieur à 95 000.
  On cherche à déterminer le plus petit entier n tel que : $\begin{matrix} 100 000 - 50 000 \times {0,8}^{n} > 95 000 & \Leftrightarrow & - 50 000 \times {0,8}^{n} > - 5 000 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} < 0,1 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,8}^{n}) < \ln 0,1 \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,8 < \ln 0,1 \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,1}{\ln 0,8} & \ln 0,8 < 0 \end{matrix}$
  Or $\frac{\ln 0,1}{\ln 0,8} \approx 10,3$ donc le plus petit entier n tel que $n > \frac{\ln 0,1}{\ln 0,8}$ est 11.
  À partir du premier janvier 2023, le nombre d'abonnés à ce jeu sera supérieur à 95 000.

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