Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour jouer sur internet à un certain jeu la souscription d'un abonnement annuel est obligatoire.
À partir d'un sondage, on prévoit que :

  • 80 % des abonnés renouvellent chaque année leur abonnement,
  • le nombre de nouveaux abonnés sera de 20 000 tous les ans.
  1. Au premier janvier 2012, on comptait 50 000 abonnés à ce jeu en ligne.
    Selon ce modèle, justifier qu'au premier janvier 2013 le nombre d'abonnés sera égal à 60 000.

    Au premier janvier 2013 le nombre d'abonnés sera égal à :50 000×0,8+20 000=60 000

    Au premier janvier 2013 le nombre d'abonnés sera égal à 60 000.


    1. Justifier que le nombre d'abonnés au premier janvier de l'année 2012 + n est modélisé par la suite (an) définie par : {a0=50 000an+1=0,8an+20 000pour tout entier naturel  n

      Au premier janvier 2012, on comptait 50 000 abonnés d'où a0=50 000
      D'une année sur l'autre, 80 % des abonnés renouvellent chaque année leur abonnement auquel s'ajoutent 20 000 nouveaux abonnés d'où an+1=0,8an+20 000

      (an) est la suite définie par a0=50 000 et pour tout entier naturel n, an+1=0,8an+20 000.


    2. Calculer a2 et a3.

      a2=0,8a1+20 000Soita2=0,8×60 000+20 000=68 000a3=0,8a2+20 000Soita3=0,8×68 000+20 000=74 400

      a2=68 000 et a3=74 400.


    3. Sur le graphique situé en annexe, à rendre avec la copie, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal les droites D d'équation y=x et Δ d'équation y=0,8x+20 000.
      Sur l'axe des abscisses, représenter a0 puis construire a1, a2, a3, a4 en utilisant les représentations graphiques des deux droites précédentes. Laisser apparents les traits de construction.

      quatre premiers termes de la suite an : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    4. En s'appuyant sur une observation graphique, émettre une conjecture sur la limite de la suite (an)

      Graphiquement, la suite (an) semble converger vers l'abscisse du point d'intersection des droites D et Δ : 0,8x+20 000=x0,2x=20 000x=100 000

      Si, la suite (an) admet une limite finie quand n tend vers + alors cette limite est égale à 100 000.


  2. On admet que pour tout nombre entier naturel n, an=100 000-50 000×0,8n.

    1. Déterminer la limite de la suite (an)

      0<0,8<1 donc limn+0,8n=0 d'où, limn+100 000-50 000×0,8n=100 000. Soit limn+an=100 000.

      La suite (an) converge vers 100 000.


    2. Toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      En utilisant ce modèle, donner une estimation de l'année à partir de laquelle, au premier janvier, le nombre d'abonnés à ce jeu sera supérieur à 95 000.

      On cherche à déterminer le plus petit entier n tel que : 100 000-50 000×0,8n>95 000-50 000×0,8n>-5 0000,8n<0,1ln(0,8n)<ln0,1nln0,8<ln0,1n>ln0,1ln0,8ln0,8<0

      Or ln0,1ln0,810,3 donc le plus petit entier n tel que n>ln0,1ln0,8 est 11.

      À partir du premier janvier 2023, le nombre d'abonnés à ce jeu sera supérieur à 95 000.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.