Baccalauréat septembre 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une coopérative fabrique une huile précieuse qu'elle commercialise au prix de 100 euros le litre. Sa capacité maximale de production journalière est de 10 litres.

Le coût de production journalier pour la fabrication de cette huile précieuse est modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par : $C (x) = 300 \ln (x + 1)$ où x désigne la quantité d'huile produite exprimée en litres et $C (x)$ son coût de production journalier exprimé en euros.

La recette journalière de cette coopérative est modélisée par la fonction R définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par : $R (x) = 100 x$ où x désigne la quantité d'huile exprimée en litre, produite et vendue, et $R (x)$ sa recette journalière exprimée en euros.

On suppose que toute la production d'un jour est vendue le même jour.

Étudier le sens de variation de la fonction C sur l'intervalle $[0; 10]$ .
Sur l'intervalle $[0; 10]$ , la fonction $f : x ⟼ x + 1$ est strictement positive et strictement croissante donc la fonction $\ln (f)$ est strictement croissante.
Par conséquent, la fonction $300 \ln (f)$ est strictement croissante.
La fonction C est strictement croissante.
Construire, sur une feuille de papier millimétré à rendre avec la copie, Γ et Γ' les représentations graphiques respectives des fonctions C et R dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
- 1 cm pour un litre sur l'axe des abscisses ;
- 1 cm pour 100 euros sur l'axe des ordonnées.

La fonction B est définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $B (x) = R (x) - C (x)$ . Elle est dérivable sur l'intervalle $[0; 10]$ , et on note $B'$ sa fonction dérivée.

Établir que, pour tout nombre réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , $B' (x) = \frac{100 x - 200}{x + 1}$
B est définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $B (x) = 100 x - 300 \ln (x + 1)$ . Donc pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ : $B' (x) = 100 - \frac{300}{x + 1} = \frac{100 x - 200}{x + 1}$
$B'$ est la fonction définie pour tout nombre réel x de l'intervalle $[0; 10]$ par $B' (x) = \frac{100 x - 200}{x + 1}$ .

Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle $[0; 10]$ .

Sur l'intervalle $[0; 10]$ , $B' (x)$ est du même signe que $100 x - 200$ .

Les variations de la fonction B se déduisent du signe de sa dérivée :

x	0		2		10
$B' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$B (x)$	0		$200 - 300 \ln 3$		$1000 - 300 \ln 11$

Démontrer que l'équation $B (x) = 0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $[2; 10]$ . Donner une valeur approchée du nombre réel α à 10^{− 1} près.
$\begin{matrix} B (x) = 0 & \Leftrightarrow & 100 x - 300 \ln (x + 1) = 0 \end{matrix}$
Ne sachant pas résoudre par des méthodes algébriques l'équation $100 x - 300 \ln (x + 1) = 0$ , on pense au théorème de la valeur intermédiaire.Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ .
$B (2) = 200 - 300 \ln 3 \approx - 130$ et $B (10) = 1000 - 300 \ln 11 \approx 281$
Sur l'intervalle $[2; 10]$ , la fonction B est dérivable donc continue, strictement croissante et $B (2) < 0 < B (10)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :
L'équation $B (x) = 0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $[2; 10]$ . Avec la calculatrice, on trouve $α \approx 5,7$
En déduire l'étude du signe de la fonction B sur l'intervalle $[0; 10]$ .
D'après les variations de la fonction B, nous pouvons en déduire le tableau du signe de la fonction B.
x 0 $α \approx 5,7$ 10
$B (x)$ − $0_{|}^{|}$ +

Lorsque $B (x)$ est positif, l'entreprise réalise un bénéfice. Lorsque $B (x)$ est négatif, l'entreprise est en déficit.
1. Déterminer la quantité journalière minimale d'huile, au décilitre près, à produire et à vendre pour que la coopérative réalise un bénéfice journalier positif.
  L'entreprise réalise un bénéfice pour une production $x > α$ . Or 5,7 est une valeur approchée par défaut de α. Donc :
  la quantité journalière minimale d'huile à produire et à vendre pour que la coopérative réalise un bénéfice est de 5,8 litres.
2. Préciser, à l'euro près, le bénéfice journalier maximal que peut réaliser cette coopérative.
  Le bénéfice journalier maximal que peut réaliser cette coopérative est obtenu avec une production de 10 litres et $B (10) \approx 281$
  Le bénéfice journalier maximal que peut réaliser cette coopérative est de 281 euros.
3. À l'aide du graphique tracé à la question 2, interpréter les résultats des questions 4 a et 4 b.
  Graphiquement, la coopérative réalise un bénéfice quand la courbe Γ' représentative de la fonction recette est au dessus de la courbe Γ représentative de la fonction coût. D'où
  La quantité minimale à produire pour réaliser un bénéfice est l'abscisse du point d'intersection des deux courbes.
  Le bénéfice maximal est la différence des ordonnées des points des deux courbes ayant pour abscisse 10.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.

x	0		$α \approx 5,7$		10
$B (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+