sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Que vaut $p\left(\overline{Y}\cap \overline{G}\right)$ la probabilité de l'événement "$\overline{Y}$ et $\overline{G}$" ?

   6% des touristes se rendant au Wyoming ne visitent aucun des deux parcs donc $p\left(\overline{Y}\cap \overline{G}\right)=\mathrm{0,06}$

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2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation étudiée, en y indiquant les probabilités données par l'énoncé qui correspondent à certaines de ses branches.

   92% de ces touristes visitent le parc de Yellowstone ; parmi ceux-là, 60% visitent aussi le parc du Grand Teton. Donc $p\left(Y\right)=\mathrm{0,92}$, $p\left(\overline{Y}\right)=\mathrm{0,08}$ et $p_Y\left(G\right)=\mathrm{0,6}$, $p_Y\left(\overline{G}\right)=\mathrm{0,4}$

   D'où l'arbre de probabilités traduisant la situation :

3. Calculer $p_{\overline{Y}}\left(\overline{G}\right)$. Interpréter ce résultat par une phrase.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_{\overline{Y}}\left(\overline{G}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\overline{Y}\cap \overline{G}\right)}{p\left(\overline{Y}\right)}}& \text{soit}& p_{\overline{Y}}\left(\overline{G}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,06}}{\mathrm{0,08}}}=\mathrm{0,75}\end{array}$$

   $p_{\overline{Y}}\left(\overline{G}\right)=\mathrm{0,75}$. 75 % des touristes qui ne visitent pas le parc de Yellowstone ne visitent pas le parc du Grand Teton.

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4. Montrer que $p\left(G\right)=\mathrm{0,572}$.

   Les évènements Y et G déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(G\right)=p\left(Y\cap G\right)+p\left(\overline{Y}\cap G\right)$$

   Or : $$\begin{array}{llll}& p\left(Y\cap G\right)=p_Y\left(G\right)\times p\left(Y\right)\hfill & \text{et}& p\left(\overline{Y}\cap G\right)=p_{\overline{Y}}\left(G\right)\times p\left(\overline{Y}\right)\hfill \\ \text{soit}& p\left(Y\cap G\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,92}=\mathrm{0,552}\hfill & & p\left(\overline{Y}\cap G\right)=\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,08}=\mathrm{0,02}\hfill \end{array}$$

   D'où $$p\left(G\right)=\mathrm{0,552}+\mathrm{0,2}+\mathrm{0,02}=\mathrm{0,572}$$

   La probabilité qu'un touriste visite le parc du Grand Teton est $p\left(G\right)=\mathrm{0,572}$.

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5. Un touriste a visité le parc du Grand Teton. Calculer la probabilité qu'il ait aussi visité le parc de Yellowstone (le résultat sera arrondi à 10⁻³ près).

   $$\begin{array}{ccc}{p}_G\left(Y\right)={\displaystyle \frac{p\left(Y\cap G\right)}{p\left(G\right)}}& \text{soit}& p_G\left(Y\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,552}}{\mathrm{0,572}}}\approx \mathrm{0,965}\end{array}$$

   La probabilité qu'un touriste qui a visité le parc du Grand Teton visite aussi le parc de Yellowstone est 0,965.

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6. Le billet d'entrée pour le parc de Yellowstone est de 10 dollars, celui pour le parc du Grand Teton est de 7 dollars.

   1. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la somme, en dollars, dépensée pour la visite des parcs de Yellowstone et du Grand Teton par un touriste se rendant au Wyoming.

      Soit S la variable aléatoire associée à la somme en dollars, dépensée pour la visite des parcs de Yellowstone et du Grand Teton par un touriste se rendant au Wyoming.

      Nous avons : $p\left(S=0\right)=p\left(\overline{Y}\cap \overline{G}\right)=\mathrm{0,06}$ ; $p\left(S=7\right)=p\left(\overline{Y}\cap G\right)=\mathrm{0,02}$ et $p\left(S=17\right)=p\left(Y\cap G\right)=\mathrm{0,552}$. Par conséquent, $$p\left(S=10\right)=1-\left(\mathrm{0,06}+\mathrm{0,02}+\mathrm{0,552}\right)=\mathrm{0,368}$$

      D'où le tableau donnant la loi de probabilité de la somme, en dollars, dépensée pour la visite des parcs de Yellowstone et du Grand Teton par un touriste se rendant au Wyoming :

      Somme en dollars	0	7	10	17
      Probabilité	0,06	0,02	0,368	0,552

   2. Calculer l'espérance de cette loi et interpréter le résultat.

      L'espérance mathématique de cette loi est :$$E\left(S\right)=7\times \mathrm{0,02}+10\times \mathrm{0,368}+17\times \mathrm{0,552}=\mathrm{13,204}$$

      La recette de l'Etat du Wyoming pour la visite des parcs nationaux de Yellowstone et de Grand Teton est en moyenne de 13,204 dollars par touriste.

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