sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Jonathan est un sportif adepte du semi-marathon (course à pied de 21,1 km). Depuis le 1^er janvier 2012, il a décidé de courir un semi-marathon par mois. Afin d'améliorer sa préparation, il décide d'enchaîner les courses pédestres de 10 km dans différentes villes.

partie a

Le graphe pondéré ci-dessous représente les villes A, B, C, D, E, F, H organisant des courses de 10 km et la ville G est celle organisant le prochain semi-marathon auquel Jonathan est inscrit.
Le poids de chaque arête représente le temps, en minutes, nécessaire pour relier une ville à une autre grâce aux transports en commun.

Jonathan vient de courir dans la ville A et souhaite se rendre dans la ville G pour repérer le parcours de son prochain semi-marathon. Déterminer à l'aide d'un algorithme le chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A à la ville G et donner la durée de ce parcours en minutes.

Pour déterminer le trajet le plus court pour aller de A à G, on utilise l'algorithme de Dijkstra.

partie b

Grâce à son entraînement et à son expérience, Jonathan sait que :

• S'il a terminé la course lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,62 ;
• S'il a abandonné lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,8.

Jonathan a terminé son semi-marathon de janvier 2012. Pour tout entier naturel n, on note $P_n$ la matrice ligne $\left(\begin{array}{cc}{r}_n& t_n\end{array}\right)$ traduisant l'état probabiliste du n-ième mois écoulé depuis janvier 2012, où $r_n$ désigne la probabilité que Jonathan abandonne au semi-marathon du n-ième mois et $t_n$ la probabilité que Jonathan termine le semi-marathon du n-ième mois.
L'état probabiliste initial, correspondant à janvier 2012, est donc donné par : $P_0=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)$

1. Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets sont notés R et T (R lorsque Jonathan abandonne, T lorsqu'il termine le semi-marathon).

2. En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique.

3. Calculer l'état probabiliste $P_2$. En déduire la probabilité que Jonathan ait abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012.

4. Soit P la matrice ligne $\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ donnant l'état stable.

   Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$ indépendant de l'état initial.

   1. Calculer les valeurs de x et de y arrondies à 10 ⁻³ près.

   2. Interpréter les résultats obtenus.

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