sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Le tableau ci-dessous donne les quantités de super sans plomb livrées et vendues en France de 2001 à 2009 (les quantités sont exprimées en millions de tonnes).

Source : INSEE

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Rang de l'année $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Quantité (millions de tonnes) $y_i$	11,6	11,4	11,2	10,9	10,7	10,2	9,8	9,1	8,7

1. Représenter dans le plan muni d'un repère orthogonal le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$, avec $1⩽i⩽9$, associé à cette série statistique. On prendra pour unités graphiques :

   • sur l'axe des abscisses : 1 centimètre pour une année,
   • sur l'axe des ordonnées : 2 centimètres pour un million de tonnes, en commençant la graduation à 7 millions de tonnes.

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage. Placer ce point sur le graphique.

3. 1. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n'est demandée). Les coefficients de l'équation de la droite seront arrondis à 10⁻² près.

   2. Tracer la droite d'ajustement obtenue.

4. En supposant que cet ajustement reste valable jusqu'en 2012, déterminer une estimation des quantités de Super Sans Plomb livrées et vendues pour l'année 2012.

partie b

Le tableau ci-dessous donne les quantités de gazole livrées et vendues en France de 2001 à 2010 (les quantités sont exprimées en millions de tonnes).

Source : INSEE

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Rang de l'année $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Quantité (millions de tonnes) $y_i$	28,6	29,4	30,1	30,8	31,1	31,9	32,8	33	33,1	33,4

Le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ avec i variant entre 1 et 10 est représenté ci-dessous.

1. L'allure de ce nuage de points permet d'envisager un ajustement logarithmique. On pose, pour tout i compris entre 1 et 10 : $z_i={\mathrm{e}}^{\frac{y_i}{10}}$
   Calculer les valeurs de $z_3$ et $z_{10}$ (on arrondira à 10⁻² près).

   $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   $z_i={\mathrm{e}}^{\frac{y_i}{10}}$	17,46	18,92		21,76	22,42	24,29	26,58	27,11	27,39

2. On admet qu'une équation de la droite d'ajustement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés, est : $z=\mathrm{1,25}x+\mathrm{16,56}$.
   En déduire une expression de y en fonction de x sous la forme $y=k\ln \left(cx+d\right)$ où k, c, d désignent trois réels à déterminer.

   Pour tout réel $z>0$, $$z={\mathrm{e}}^{\frac{y}{10}}\iff {\displaystyle \frac{y}{10}}=\ln \left(z\right)$$

3. En utilisant ce modèle, déterminer à partir de quelle année la consommation de gazole devrait dépasser 35 millions de tonnes.

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