sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Jonathan est un sportif adepte du semi-marathon (course à pied de 21,1 km). Depuis le 1^er janvier 2012, il a décidé de courir un semi-marathon par mois. Afin d'améliorer sa préparation, il décide d'enchaîner les courses pédestres de 10 km dans différentes villes.

partie a

Le graphe pondéré ci-dessous représente les villes A, B, C, D, E, F, H organisant des courses de 10 km et la ville G est celle organisant le prochain semi-marathon auquel Jonathan est inscrit.
Le poids de chaque arête représente le temps, en minutes, nécessaire pour relier une ville à une autre grâce aux transports en commun.
Jonathan vient de courir dans la ville A et souhaite se rendre dans la ville G pour repérer le parcours de son prochain semi-marathon. Déterminer à l'aide d'un algorithme le chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A à la ville G et donner la durée de ce parcours en minutes.

Pour déterminer le trajet le plus court pour aller de A à G, on utilise l'algorithme de Dijkstra.

A	B	C	D	E	F	G	H	Sommet sélectionné
0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
	60 (A)	70 (A)	∞	20 (A)	45 (A)	∞	∞	E (20)
	40 (E)	70(A)	80 (E)		45 (A)	∞	70 (E)	B (40)
		50 (B)	80 (E)		45 (A)	∞	70 (E)	F (45)
		50 (B)	80 (E)			∞	70 (E)	C (50)
			65 (C)			∞	70 (E)	D (65)
						85 (D)	70 (E)	H (70)
						85 (D)		G (85)

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Le sommet G étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de G et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $G\leftarrow D\leftarrow C\leftarrow B\leftarrow E\leftarrow A$.

Le trajet le plus rapide possible pour aller de la ville A à la ville G est A-E-B-C-D-G. Le temps minimum de parcours est de 85  minutes.

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partie b

1. Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets sont notés R et T (R lorsque Jonathan abandonne, T lorsqu'il termine le semi-marathon).

   Jonathan sait que :

   • S'il a terminé la course lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,62 d'où $p_{T_n}\left(T_{n+1}\right)=\mathrm{0,62}$ et $p_{T_n}\left(R_{n+1}\right)=\mathrm{0,38}$
   • S'il a abandonné lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,8 d'où $p_{R_n}\left(T_{n+1}\right)=\mathrm{0,8}$ et $p_{R_n}\left(R_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique.

   La matrice de transition M de ce graphe telle que $\left(\begin{array}{cc}{r}_{n+1}& t_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{r}_n& t_n\end{array}\right)\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\\ \mathrm{0,38}& \mathrm{0,62}\end{array}\right)$.

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3. Calculer l'état probabiliste $P_2$. En déduire la probabilité que Jonathan ait abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012.

   $$\begin{array}{ccccc}{P}_2=P_0\times M^2& \text{Soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\\ \mathrm{0,38}& \mathrm{0,62}\end{array}\right)}^2\hfill & \iff & P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3116}& \mathrm{0,6884}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

   La probabilité que Jonathan ait abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012 est égale à 0,3116.

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4. Soit P la matrice ligne $\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ donnant l'état stable.

   1. Calculer les valeurs de x et de y arrondies à 10 ⁻³ près.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$ indépendant de l'état initial.

      Nous avons $P=PM$ et $x+y=1$ alors $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\\ \mathrm{0,38}& \mathrm{0,62}\end{array}\right)\end{array}$ avec $x+y=1$. D'où x et y sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,2}x+\mathrm{0,38}y\\ y& =& \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,62}y\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,38}y& =& 0\\ -\mathrm{0,8}x+\mathrm{0,38}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}\end{array}$$

      Soit x et y solutions du système $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,38}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{1,18}x& =& \mathrm{0,38}\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& {\displaystyle \frac{19}{59}}\approx \mathrm{0,322}\\ y& =& {\displaystyle \frac{40}{59}}\approx \mathrm{0,678}\end{array}\end{array}$$

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,322}& \mathrm{0,678}\end{array}\right)$.

      ---

   2. Interpréter les résultats obtenus.

      Sur le long terme, Jonathan terminera chaque semi-marathon avec une probabilité de 0,678 .

      ---

      remarque :

      $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\\ \mathrm{0,38}& \mathrm{0,62}\end{array}\right)}^5\hfill & \approx & \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,322}& \mathrm{0,678}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      À partir du cinquième mois, Jonathan terminera chaque semi-marathon avec une probabilité de 0,678.

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