sujet : Pondichery

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Il est constitué de quatre questions indépendantes.
Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

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1. La courbe $C_g$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction g définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-8;5\right]$. La droite (AB) tracée sur le graphique est la tangente à la courbe $C_g$ au point A d'abscisse − 2.
   On note $g\text{'}$ la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle $\left[-8;5\right]$.

   Le nombre dérivé $g\text{'}\left(-2\right)$ est égal au coefficient directeur de la droite (AB) tangente à la courbe $C_g$ au point A d'abscisse − 2. D'où $$\begin{array}{ccc}g\text{'}\left(-2\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{soit}& g\text{'}\left(-2\right)={\displaystyle \frac{3}{-4+2}}=-\mathrm{1,5}\end{array}$$

   1. $g\text{'}\left(-2\right)=-\mathrm{1,5}$.

   2. $g\text{'}\left(-2\right)=0$
   3. $g\text{'}\left(-2\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

2. On note G une primitive sur l'intervalle $\left[-8;5\right]$ de la fonction g introduite à la question 1 ;

   G est une primitive sur l'intervalle $\left[-8;5\right]$ de la fonction g. Donc pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[-8;5\right]$, $G\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right)$.

   Par conséquent, les variations de la fonction G se déduisent du signe de g.

   Or sur l'intervalle $\left[-8;-2\right]$, $g\left(x\right)⩾0$ donc la fonction G est croissante sur l'intervalle $\left[-8;-2\right]$.

   1. la fonction G admet un minimum en − 2
   2. la fonction G est décroissante sur l'intervalle $\left[-4;1\right]$

   3. la fonction G est croissante sur l'intervalle $\left[-8;-2\right]$.

3. Soit $I={\displaystyle {\int }_2^7\left(2x+1-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\mathrm{d}x}$

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_2^7\left(2x+1-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[x^2+x-\ln \left(x\right)\right]}_2^7}\hfill \\ & =& \left(49+7-\ln \left(7\right)\right)-\left(4+2-\ln \left(2\right)\right)\hfill \\ & =& 50-\ln \left(7\right)+\ln \left(2\right)\hfill \\ & =& 50+\ln \left({\displaystyle \frac{2}{7}}\right)\hfill \end{array}$$

   1. $I=50+\ln \left({\displaystyle \frac{2}{7}}\right)$

   2. $I=\mathrm{48,7}$
   3. $I=10-{\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

4. Soit f la fonction définie sur l'ensemble $ℝ$ des nombres réels par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{6x-5}{3x^2-5x+7}}$
   On note F la primitive de f sur $ℝ$ telle que $F\left(1\right)=1$.

   Soit u la fonction définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=3x^2-5x+7$. u est dérivable et strictement positive sur $ℝ$ et pour tout réel x, $u\text{'}\left(x\right)=6x-5$

   On a donc pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{u\text{'}\left(x\right)}{u\left(x\right)}}$. Par conséquent, la fonction f admet pour primitives les fonctions $$\begin{array}{ccc}x⟼\ln \left(3x^2-5x+7\right)+c& \text{où}& c\in ℝ\end{array}$$

   La primitive F est telle que $F\left(1\right)=1$ donc c est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}\ln \left(3-5+7\right)+c=1& \text{Soit}& c=1-\ln \left(5\right)\end{array}$$

   Ainsi, F est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=\ln \left(3x^2-5x+7\right)+1-\ln \left(5\right)$

   1. Pour tout x de $ℝ$, $F\left(x\right)=\ln \left(3x^2-5x+7\right)$

   2. Pour tout x de $ℝ$, $F\left(x\right)=\ln \left(3x^2-5x+7\right)+1-\ln \left(5\right)$

   3. Pour tout x de $ℝ$, $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3x^2-5x+7}}+1$

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