sujet : Pondichery

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. 1. Calculer les probabilités des évènements J, R et A.

      Parmi les 2 000 clients, dont l'abonnement a plus de 12 mois d'ancienneté :

      • 900 clients n'ont jamais subi de coupure prolongée de connexion, d'où $$p\left(J\right)={\displaystyle \frac{900}{2000}}=\mathrm{0,45}$$
      • 500 clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion dans les 12 derniers mois, d'où $$p\left(R\right)={\displaystyle \frac{500}{2000}}=\mathrm{0,25}$$
      • les autres clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion il y a plus d'un an, d'où $$p\left(A\right)={\displaystyle \frac{2000-\left(900+500\right)}{2000}}=\mathrm{0,3}$$

      Ainsi, $p\left(J\right)=\mathrm{0,45}$, $p\left(R\right)=\mathrm{0,25}$ et $p\left(A\right)=\mathrm{0,3}$.

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   2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.

      L'enquête a révèlé que :

      • 95 % des clients n'ayant jamais subi de coupure prolongée se déclarent satisfaits du service fourni d'où $p_J\left(S\right)=\mathrm{0,95}$.
      • 50 % des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion dans les douze derniers mois se déclarent satisfaits du service fourni d'où $p_R\left(S\right)=\mathrm{0,5}$.
      • 70 % des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion il y a plus d'un an se déclarent satisfaits du service fourni d'où $p_A\left(S\right)=\mathrm{0,7}$.

      D'où l'arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé :

2. Calculer la valeur exacte de la probabilité que le client soit satisfait et n'ait jamais subi de coupure prolongée de connexion.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(S\cap J\right)& =& p_J\left(S\right)\times p\left(J\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,95}\times \mathrm{0,45}\hfill \\ & =& \mathrm{0,4275}\hfill \end{array}$$

   La probabilité que le client soit satisfait et n'ait jamais subi de coupure prolongée de connexion est égale à 0,4275.

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3. Démontrer que la probabilité que le client choisi se déclare satisfait est égale à 0,7625.

   Les évènements J, R et A forment une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(S\right)=p\left(J\cap S\right)+p\left(R\cap S\right)+p\left(A\cap S\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccccccc}p\left(R\cap S\right)& =& p_R\left(S\right)\times p\left(R\right)\hfill & \text{et}& p\left(A\cap S\right)& =& p_A\left(S\right)\times p\left(A\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,25}\times \mathrm{0,5}\hfill & & & =& \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,7}\hfill \\ & =& \mathrm{0,125}\hfill & & & =& \mathrm{0,21}\hfill \end{array}$$

   Donc $$p\left(S\right)=\mathrm{0,4275}+\mathrm{0,125}+\mathrm{0,21}=\mathrm{0,7625}$$

   Ainsi, la probabilité que le client choisi se déclare satisfait est égale à 0,7625.

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4. Le client choisi se déclare satisfait du service fourni. Quelle est la probabilité qu'il ait subi une coupure prolongée de connexion au cours des douze derniers mois (on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième) ?

   $$\begin{array}{ccc}{p}_S\left(R\right)={\displaystyle \frac{p\left(S\cap R\right)}{p\left(S\right)}}& \text{soit}& p_S\left(R\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,125}}{\mathrm{0,7625}}}\approx \mathrm{0,16}\end{array}$$

   Arrondie au centième, la probabilité qu'un client satisfait ait subi une coupure prolongée de connexion au cours des douze derniers mois est 0,16.

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5. On choisit au hasard trois clients parmi ceux du panel interrogé durant l'enquête. On admet que ce panel est suffisamment important pour assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.
   Déterminer la probabilité qu'exactement un des clients choisis se déclare non satisfait du service fourni (on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième)

   On admet que ce panel est suffisamment important pour assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise. Il s'agit donc de la répétition de trois épreuves de Bernoulli dont le succès est le client est satisfait.

   schéma de Bernoulli

   Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de clients satisfaits, X suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0,7625.

   Dans le schéma de Bernoulli, les chemins correspondants à l'évènement «exactement un des trois clients choisis se déclare non satisfait du service fourni» sont les chemins réalisant deux succès et un échec. D'où $$\begin{array}{ccc}p\left(X=2\right)& =& \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\times {\mathrm{0,7625}}^2\times \mathrm{0,2375}\hfill \\ & =& 3\times {\mathrm{0,7625}}^2\times \mathrm{0,2375}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,41}\hfill \end{array}$$

   Arrondie au centième près, la probabilité qu'exactement un des clients choisis se déclare non satisfait du service fourni est 0,41.

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