sujet : Pondichery

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal, en prenant pour unités 1 cm pour une semaine sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 50 visiteurs sur l'axe des ordonnées.

   2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points, et le placer dans le repère précédent (on arrondira l'ordonnée du point G à l'unité près).

      Le point moyen G a pour coordonnées $\left(\overline{x};\overline{y}\right)$ où $\overline{x}$ est la moyenne de la série statistique X et $\overline{y}$ est la moyenne de la série statistique Y

      Le point moyen a pour coordonnées $G\left(\mathrm{4,5};360\right)$ (l'ordonnée du point G est arrondie à l'unité près).

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2. 1. Pour cette question, les calculs pourront être effectués à l'aide de la calculatrice ; aucun détail n'est exigé à leur propos.

      Déterminer l'équation $y=ax+b$ de la droite (D) d'ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients a et b seront arrondis à l'entier le plus proche.

      La droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation $y=38x+191$.(Les coefficients sont arrondis à l'entier le plus proche)

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   2. Tracer la droite (D) dans le repère précédent.

   3. En utilisant l'ajustement affine précédent, estimer le nombre de visiteurs lors de la dixième semaine suivant la création du site.

      $$38\times 10+191=571$$

      Selon cet ajustement, on peut estimer qu'il y aura 571 visites au cours de la dixième semaine suivant l'ouverture du site.

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3. En remarquant que l'augmentation du nombre de visiteurs est plus faible sur les dernières semaines, on peut penser à faire un ajustement de type « logarithmique ». Pour cela, on pose : $z=\ln \left(x\right)$.

   1. On donne le tableau suivant.
      Préciser les valeurs manquantes $z_3$ et $z_6$ en arrondissant les résultats obtenus à 10^{− 3} près.

      $$\begin{array}{ccc}{z}_3=\ln 3\approx \mathrm{1,099}& \text{et}& z_6=\ln 6\approx \mathrm{1,792}\end{array}$$

      Rang de la semaine $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8
      $z_i=\ln \left(x_i\right)$	0	0,693	1,099	1,386	1,609	1,792	1,946	2,079
      Nombre de visiteurs $y_i$	205	252	327	349	412	423	441	472

   2. On admet que l'équation de la droite (d) d'ajustement affine de y en z, obtenue par la méthode des moindres carrés, est : $y=133z+184$.
      En utilisant ce résultat, procéder à une nouvelle estimation du nombre de visiteurs lors de la dixième semaine (le résultat sera arrondi à l'unité).

      $$133\times \ln \left(10\right)+184\approx 490$$

      Avec cet ajustement, on peut estimer qu'il y aura 490 visites au cours de la dixième semaine suivant l'ouverture du site.

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   3. À l'aide de ce nouvel ajustement, déterminer le rang de la semaine au cours de laquelle le nombre prévisible de visiteurs dépassera 600.

      Le rang x est le plus petit entier qui vérifie : $$\begin{array}{ccc}133\times \ln \left(x\right)+184⩾600& \iff & \ln \left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{416}{133}}\hfill \\ & \iff & x⩾{\mathrm{e}}^{\frac{416}{133}}\approx \mathrm{22,8}\hfill \end{array}$$

      Selon cet ajustement, le nombre de visiteurs dépassera 600 au cours de la 23 ième semaine.

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