sujet : Pondichery

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\left(-4x^2+5\right){\mathrm{e}}^{-x}+3$. On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   1. Démontrer que pour tout réel x de $\left[0;+\infty \right[$, on a $f\prime \left(x\right)=\left(4x^2-8x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

      f est dérivable comme produit et somme de fonctions dérivables. $f=u\times v+3$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de $\left[0;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=-4x^2+5\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-8x\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

      D'où pour tout réel $x⩾0$, on a: $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& -8x\times {\mathrm{e}}^{-x}+\left(-4x^2+5\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\hfill \\ & =& \left(4x^2-8x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=\left(4x^2-8x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

      ---

   2. Étudier le signe de la fonction $f\prime$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      • Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$. Donc le signe de $f\prime$ est celui de $4x^2-8x-5$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      • Recherche des racines éventuelles du polynôme du second degré $4x^2-8x-5$ avec $a=4$, $b=-8$ et $c=-5$.

        Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\mathrm{\Delta }=64+80=144={12}^2$$

        $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{8-12}{8}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{8+12}{8}}={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$

      Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ :

      x	0		${\displaystyle \frac{5}{2}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

2. 1. Démontrer que pour tout $x⩾0$, on a $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4x^2}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x}}+3$.

      Pour tout réel x, $$\left(-4x^2+5\right){\mathrm{e}}^{-x}+3={\displaystyle \frac{-4x^2+5}{{\mathrm{e}}^x}}+3=-{\displaystyle \frac{4x^2}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x}}+3$$

      Ainsi, pour tout $x⩾0$, on a $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4x^2}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x}}+3$.

      ---

   2. En déduire la limite de la fonction f en $+\infty$ (on pourra utiliser le résultat suivant : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{{\mathrm{e}}^x}}=0$).

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4x^2}{{\mathrm{e}}^x}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x}}=0$ donc par somme, $\underset{x\to +\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{4x^2}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x}}+3=3$.

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$.

      ---

   3. Interpréter graphiquement cette limite.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$ donc la courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation $y=3$ en $+\infty$.

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3. À l'aide des questions 1. et 2., dresser le tableau de variation de la fonction f.

   Nous avons : $$\begin{array}{ccc}f\left(0\right)=5\times {\mathrm{e}}^0+3=8& \text{et}& f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=\left(-4\times {\displaystyle \frac{25}{4}}+5\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}+3=3-20{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}\approx \mathrm{1,358}\end{array}$$

   Le tableau de variation de la fonction f est :

   x	0		${\displaystyle \frac{5}{2}}$		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$	8		$3-20{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}$		3

4. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=3$ admet une unique solution $x_0$ dans l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.
   Donner une valeur approchée de $x_0$ à 10^− 2 près.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}\left(-4x^2+5\right){\mathrm{e}}^{-x}+3=3& \iff & \left(-4x^2+5\right){\mathrm{e}}^{-x}=0\hfill \\ & \iff & -4x^2+5=0\hfill \\ & \iff & \left(\sqrt{5}-2x\right)\left(\sqrt{5}+2x\right)=0\hfill \end{array}$$

   Soit $x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$ ou $x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$

   Dans l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, l'équation $f\left(x\right)=3$ admet une unique solution $x_0={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$. Soit $x_0\approx \mathrm{1,12}$

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partie b

Une entreprise produit de la peinture qu'elle vend ensuite. Toute la production est vendue.
Le coût moyen unitaire de cette production peut être modélisé par la fonction f de la partie A :
pour x hectolitres de peinture fabriqués (avec $x\in \left]\mathrm{0,5};8\right]$), le nombre $f\left(x\right)$ désigne le coût moyen unitaire de production par hectolitre de peinture, exprimé en centaines d'euros (on rappelle qu'un hectolitre est égal à 100 litres).
Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle. On pourra utiliser les résultats de la partie A. Chaque réponse sera justifiée.

1. Déterminer le coût moyen unitaire de production en euros, arrondi à l'euro près, pour une production de 500 litres de peinture.

   $$f\left(5\right)=\left(-4\times 25+5\right)\times {\mathrm{e}}^{-5}+3=3-95{\mathrm{e}}^{-5}\approx \mathrm{2,36}$$

   Pour une production de 500 litres de peinture, le coût moyen unitaire de production est de 236 euros.

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2. 1. Combien de litres de peinture l'entreprise doit-elle produire pour minimiser le coût moyen unitaire de production ? Quel est alors ce coût, arrondi à l'euro près ?

      Le minimum de la fonction f est atteint pour $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$ et $f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\approx \mathrm{1,36}$

      Pour minimiser le coût moyen unitaire de production, l'entreprise doit produire 250 litres de peinture. Le coût moyen unitaire minimal de production est 136 euros.

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   2. Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé à 100 euros. À l'aide de la question précédente, déterminer si l'entreprise peut réaliser des bénéfices.

      Le coût moyen unitaire minimal de production est de 136 euros par hectolitre donc l'entreprise ne peut pas réaliser de bénéfice si le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé à 100 euros.

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3. Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé à 300 euros.
   On appelle seuil de rentabilité la quantité à partir de laquelle la production est rentable, c'est-à-dire qu'elle permet à l'entreprise de réaliser un bénéfice.
   Quel est le seuil de rentabilité pour cette entreprise ?

   Nous savons que l'équation $f\left(x\right)=3$ admet une unique solution $x_0={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$ et d'après le tableau de variation de la fonction f nous pouvons conclure que $f\left(x\right)<3$ équivaut à $x>{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$.

   Avec un prix de vente d'un hectolitre de peinture fixé à 300 euros, le seuil de rentabilité est obtenu pour une production de 112 litres de peinture.

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