sujet : Amérique du sud novembre 2013

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l'entreprise.
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. La direction de l'entreprise décide de diminuer le budget consacré aux frais de déplacements de ses commerciaux.
   affirmation 1 : « Diminuer ce budget de 6 % par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30 % sur la période de 5 ans ».

   Soit $F_0$ le montant initial du budget consacré aux frais de déplacements. Au bout de cinq diminutions successives de 6 % on obtient : $$\begin{array}{ccc}{F}_5=F_0\times {\left(1-{\displaystyle \frac{6}{100}}\right)}^5& \iff & F_5=F_0\times {\mathrm{0,94}}^5\\ & \text{Soit}& F_5\approx F_0\times \mathrm{0,734}\end{array}$$

   Comme $\mathrm{0,734}=1-{\displaystyle \frac{\mathrm{26,6}}{100}}$, diminuer le budget de 6 % par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 26,6 % sur la période de 5 ans.

   L'affirmation 1 est fausse.

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2. La production mensuelle varie entre 0 et 10000 clés.
   Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $B\left(x\right)=-x^2+10x-9$ où x représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.

   • affirmation 2a : « Lorsque l'entreprise produit et vend entre 1000 et 9000 clés USB, le bénéfice est positif ».

     Étudions le signe du polynôme du second degré $-x^2+10x-9$ avec $a=-1$, $b=10$ et $c=-9$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=100-4\times \left(-1\right)\times \left(-9\right)=64\end{array}$$

     $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-10-8}{-2}}=6\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-10+8}{-2}}=1\end{array}$$

     Nous pouvons en déduire le signe de $B\left(x\right)=-x^2+10x-9$ sur l'intervalle $\left[0;10\right]$

     x	0		1		9		10
     Signe de $B\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

     Ainsi, le bénéfice est positif lorsque l'entreprise produit et vend entre 1000 et 9000 clés USB.

     L'affirmation 2a est vraie.

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   • affirmation 2b : « Lorsque l'entreprise produit et vend 5000 clés USB, le bénéfice mensuel est maximal ».

     Le maximum de la fonction B est atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{-10}{-2}}=5$

     L'affirmation 2b est vraie.

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   • affirmation 2c : « Lorsque l'entreprise produit et vend entre 2000 et 8000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à 78 000 euros ».

     La valeur moyenne de la fonction B sur l'intervalle $\left[2;8\right]$ est : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{8-2}}\times {\displaystyle {\int }_2^{8}B\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle {\int }_2^8-x^2+10x-9\mathrm{d}x}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle {\left[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+5x^2-9x\right]}_2^8}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{6}}\times \left[\left(-{\displaystyle \frac{512}{3}}+5\times 64-9\times 8\right)-\left(-{\displaystyle \frac{8}{3}}+5\times 4-9\times 2\right)\right]\hfill \\ & =& 13\hfill \end{array}$$

     Lorsque l'entreprise produit et vend entre 2000 et 8000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à 13 000 euros.

     L'affirmation 2c est fausse.

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3. Pour contrôler la qualité du stock formé des milliers de clés USB fabriquées chaque année, on sélectionne au hasard un échantillon de 4000 clés. Parmi ces clés, 210 sont défectueuses.
   Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, dépasse 7 %.
   affirmation 3 : « À l'issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication ».

   La proportion de clés défectueuses dans l'échantillon de 4000 clés est : $$f={\displaystyle \frac{210}{4000}}=\mathrm{0,0525}$$

   $n=4000$ et $f=\mathrm{0,0525}$, $nf>5$ et $n\left(1-f\right)>5$. Un intervalle de confiance de la proportion p de clés défectueuses au niveau de confiance 0,95 est : $$\left[\mathrm{0,0525}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4000}}};\mathrm{0,0525}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4000}}}\right]$$

   Soit en arrondissant au dix millième, un intervalle de confiance de la proportion de clés défectueuses au niveau de confiance 0,95 est $\left[\mathrm{0,0367};\mathrm{0,0683}\right]$.

   L'affirmation 3 est fausse.

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