sujet : Amérique du sud novembre 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à 10^-3 près. Les parties A et B sont indépendantes.

Dans un cabinet d'assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût.

partie a

Une enquête affirme que 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année.

1. Dans le cadre d'une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 15 clients.
   On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l'année.

   1. Justifier que la loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=\mathrm{0,3}$.

      Comme le nombre de clients est important, le choix des 15 clients est assimilé à la répétition, de façons indépendantes, d'une même expérience à deux issues « le client à déclaré un sinistre au cours de l'année » ou pas. La probabilité du « succès » étant égale à 0,3.

      La loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres 15 et 0,3.

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   2. Calculer $P\left(X⩾1\right)$.

      L'évènement « au moins un des 15 clients a déclaré un sinistre au cours de l'année » est l'évènement contraire de l'évènement « les 15 clients n'ont pas déclaré un sinistre au cours de l'année ». $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾1\right)=1-P\left(X=0\right)& \text{Soit}& P\left(X⩾1\right)=1-{\mathrm{0,7}}^{15}\approx \mathrm{0,995}\end{array}$$

      $P\left(X⩾1\right)\approx \mathrm{0,995}$

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2. Un expert indépendant interroge un échantillon de 100 clients choisis au hasard dans l'ensemble des clients du cabinet d'assurance.

   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l'année.

      $n=100$, $np=30$ et $n\left(1-p\right)=70$. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,3}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,7}}{100}}};\mathrm{0,3}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,7}}{100}}}\right]\end{array}$$

      Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque est $I=\left[\mathrm{0,210};\mathrm{0,390}\right]$.

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   2. L'expert constate que 19 clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année.
      Déterminer, en justifiant, si l'affirmation du cabinet d'assurance : « 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année » peut être validée par l'expert.

      La fréquence observée dans cet échantillon est $f={\displaystyle \frac{19}{100}}=\mathrm{0,19}$.

      $\mathrm{0,19}\notin \left[\mathrm{0,210};\mathrm{0,390}\right]$ l'expert rejette l'hypothèse selon laquelle « 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année » avec un risque d'erreur de 5%.

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partie b

Selon leur gravité, les sinistres sont classés en catégorie. On s'intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l'année.
On note Y la variable aléatoire donnant le coût, en euros, de ces sinistres. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance $\mu =1200$ et d'écart-type $\sigma =200$.

1. Calculer la probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000 € et 1 500 €.

   Y, suit la loi normale d'espérance $\mu =1200$ et d'écart-type $\sigma =200$. Avec la calculatrice, on obtient : $$P\left(1000⩽Y⩽1500\right)\approx \mathrm{0,775}$$

   La probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000 € et 1 500 € est égale 0,775.

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2. Calculer la probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 €.

   La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P\left(a⩽Y⩽b\right)$ quand Y suit la loi normale : $$\begin{array}{ccc}P\left(Y>1000\right)& =& P\left(1000⩽Y⩽1200\right)+P\left(Y⩾1200\right)\hfill \\ & =& P\left(1000⩽X⩽1200\right)+\mathrm{0,5}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,841}\hfill \end{array}$$

   La probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 € est égale 0,841.

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