sujet : Amérique du sud novembre 2013

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

partie a

1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets S et $\overline{S}$.

   L'étude révèle que :

   • Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu'elle pratique le snowboard l'hiver suivant est égale à 0,2. d'où $p_{S_n}\left({\bar{S}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$ et $p_{S_n}\left(S_{n+1}\right)=\mathrm{0,8}$
   • Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu'elle pratique le ski de piste l'hiver suivant est égale à 0,3 d'où $p_{{\stackrel{─}{S}}_n}\left(S_{n+1}\right)=\mathrm{0,3}$ et $p_{{\stackrel{─}{S}}_n}\left({\bar{S}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,7}$

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. 1. Donner la matrice de transition M de ce graphe probabiliste.

      La matrice de transition M de ce graphe telle que $P_{n+1}=P_n\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$.

      ---

   2. Calculer $M^2$.

      $$\begin{array}{ccc}{M}^2& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)\hfill \\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,8}+\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,3}& \mathrm{0,8}\times \mathrm{0,2}+\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,7}\\ \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,8}+\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,3}& \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,2}+\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,7}\end{array}\right)\hfill \\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}\hfill & \mathrm{0,3}\hfill \\ \mathrm{0,45}\hfill & \mathrm{0,55}\hfill \end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      $M^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}\hfill & \mathrm{0,3}\hfill \\ \mathrm{0,45}\hfill & \mathrm{0,55}\hfill \end{array}\right)$

      ---

   3. Déterminer l'état probabiliste $P_2$.

      $P_2=P_0\times M^2$. Soit $$P_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}\hfill & \mathrm{0,3}\hfill \\ \mathrm{0,45}\hfill & \mathrm{0,55}\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\end{array}\right)$$

      $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\end{array}\right)$

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3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a $p_{n+1}=\mathrm{0,5}{p}_n+\mathrm{0,3}$.

   Pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=P_n\times M$. Soit pour tout entier n, $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}{p}_{n+1}& q_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& q_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}{p}_{n+1}& q_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}{p}_n+\mathrm{0,3}{q}_n& \mathrm{0,2}{p}_n+\mathrm{0,7}{q}_n\end{array}\right)\end{array}$$

   D'où $p_{n+1}=\mathrm{0,8}{p}_n+\mathrm{0,3}{q}_n$ avec pour tout entier n, $p_n+q_n=1$. Donc $$p_{n+1}=\mathrm{0,8}{p}_n+\mathrm{0,3}\times \left(1-p_n\right)=\mathrm{0,5}{p}_n+\mathrm{0,3}$$

   Ainsi, pour tout entier n, $p_{n+1}=\mathrm{0,5}{p}_n+\mathrm{0,3}$.

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4. On considère l'algorithme suivant :

   Variables :
   ①	J et N sont des entiers naturels
   ②	p est un nombre réel
   Entrée :
   ③	Saisir N
   Initialisation :
   ④	p prend la valeur 1
   Traitement :
   ⑤	Pour J allant de 1 à N
   ⑥	p prend la valeur …
   ⑦	Fin Pour
   Sortie :
   ⑧	Afficher p

   Recopier et compléter la ligne ⑥ de cet algorithme afin d'obtenir la probabilité $p_N$.

   D'après la question précédente la ligne ⑥ est :

   p prend la valeur $\mathrm{0,5}\times p+\mathrm{0,3}$

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partie b

On considère, pour tout entier naturel n, l'évènement $S_n$ : « la personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver ». La probabilité de l'évènement $S_n$ est notée $p\left(S_n\right)$. On a donc $p_n=p\left(S_n\right)$.
On sait d'après la partie A que pour tout entier naturel n, $p_{n+1}=\mathrm{0,5}{p}_n+\mathrm{0,3}$.
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $u_n=p_n-\mathrm{0,6}$.

1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de $u_0$.

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{ccc}{u}_{n+1}=p_{n+1}-\mathrm{0,6}& \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,5}{p}_n+\mathrm{0,3}-\mathrm{0,6}\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,5}{p}_n-\mathrm{0,3}\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,5}\times \left(p_n-\mathrm{0,3}\right)\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,5}{u}_n\hfill \end{array}$$

   Pour tout entier n, $u_{n+1}=\mathrm{0,5}{u}_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5.

   D'autre part, $u_0=p_0-\mathrm{0,6}$ d'où $u_0=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$.

   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_0=\mathrm{0,4}$

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2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de n puis l'expression de $p_n$ en fonction de n.

   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_0=\mathrm{0,4}$ donc pour tout entier naturel n, $u_n=\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,5}}^n$.

   Comme pour tout entier naturel n, $u_n=p_n-\mathrm{0,6}\iff p_n=u_n+\mathrm{0,6}$, on en déduit :

   Pour tout entier naturel n, $p_n=\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,5}}^n+\mathrm{0,6}$.

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3. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$ et interpréter le résultat.

   $0<\mathrm{0,5}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,5}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,4}\times {\mathrm{0,5}}^n+\mathrm{0,6}=\mathrm{0,6}$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{p}_n=\mathrm{0,6}$.

   La suite $\left(p_n\right)$ converge vers 0,6. Au bout d'un certain nombre d'années, la probabilité de l'évènement S : « la personne pratique le ski de piste » se stabilisera à 0,6.

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partie c

Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-dessous. Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas. Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passages.
Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets.

Déterminer, à l'aide de l'algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I.

Déterminons, à l'aide de l'algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I.

A	B	C	D	E	F	G	H	I	Sommet sélectionné
0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
	7 (A)	16 (A)	∞	21 (A)	∞	∞	∞	∞	B (7)
		16 (A)	25 (B)	21 (A)	15 (B)	∞	∞	∞	F (15)
		16 (A)	25 (B)	20 (F)		∞	22 (F)	∞	C (16)
			25 (B)	20 (F)		∞	22 (F)	∞	E (20)
			25 (B)			∞	22 (F)	38 (E)	H (22)
			25 (B)			35 (H)		38 (E)	D (25)
						30 (D)		38 (E)	G (30)
								37 (G)	I (37)

Le sommet I étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de I et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $I\leftarrow G\leftarrow D\leftarrow B\leftarrow A$.

La distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I est de 3700 mètres en suivant l'itinéraire A - B - D - G - I.

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