sujet : Amérique du sud novembre 2013

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

1. 1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant.

      Les enquêtes réalisées révèlent que d'un mois à l'autre :

      • 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus d'où $p_{F_0}\left(\overline{F_1}\right)=\mathrm{0,06}$ et $p_{F_0}\left(F_1\right)=1-p_{F_0}\left(\overline{F_1}\right)$ soit $p_{F_0}\left(F_1\right)=1-\mathrm{0,06}=\mathrm{0,94}$.

      • 4 % des personnes qui n'étaient pas favorables le deviennent d'où $p_{\overline{F_0}}\left(F_1\right)=\mathrm{0,04}$ et $p_{\overline{F_0}}\left(\overline{F_1}\right)=1-p_{\overline{F_0}}$ soit $p_{\overline{F_0}}\left(\overline{F_1}\right)=1-\mathrm{0,04}=\mathrm{0,96}$.

   2. Montrer que $p_1=\mathrm{0,9}{p}_0+\mathrm{0,04}$.

      D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{ccc}p\left(F_1\right)& =& p\left(F_1\cap F_0\right)+p\left(F_1\cap \overline{F_0}\right)\hfill \end{array}$$

      Or $$\begin{array}{ccccccc}p\left(F_1\cap F_0\right)& =& p_{F_0}\left(F_1\right)\times p\left(F_0\right)\hfill & \text{et}& p\left(F_1\cap \overline{F_0}\right)& =& p_{\overline{F_0}}\left(F_1\right)\times p\left(\overline{F_0}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,94}\times p_0\hfill & & & =& \mathrm{0,04}\times \left(1-p_0\right)\hfill \end{array}$$

      D'où $$p\left(F_1\right)=\mathrm{0,94}{p}_0+\mathrm{0,04}\times \left(1-p_0\right)=\mathrm{0,9}{p}_0+\mathrm{0,04}$$

      Ainsi, $p_1=\mathrm{0,9}{p}_0+\mathrm{0,04}$.

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   Pour la suite de l'exercice, on donne $p_0=\mathrm{0,55}$ et on note, pour tout entier naturel n, $F_n$ l'évènement « la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable » et $p_n$ sa probabilité.
   On admet de plus, que pour tout entier naturel n, $p_{n+1}=\mathrm{0,9}{p}_n+\mathrm{0,04}$.

2. On considère l'algorithme suivant :

   Variables :	I et N sont des entiers naturels P est un nombre réel
   Entrée :	Saisir N
   Initialisation :	P prend la valeur 0,55
   Traitement :	Pour J allant de 1 à N P prend la valeur $\mathrm{0,9}P+\mathrm{0,04}$ Fin pour
   Sortie :	Afficher P

   1. Écrire ce qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $N=1$.

      Lorsque l'utilisateur entre la valeur $N=1$, la boucle n'est exécutée qu'une fois d'où P prend la valeur $$\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,55}+\mathrm{0,04}=\mathrm{0,535}$$

      Lorsque l'utilisateur entre la valeur $N=1$, la valeur affichée en sortie est 0,535.

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   2. Donner le rôle de cet algorithme.

      Cet algorithme permet d'obtenir la probabilité de l'évènement « la personne interrogée a une opinion favorable N mois après l'élection du président »

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3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par : $u_n=p_n-\mathrm{0,4}$.

   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme $u_0$.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{ccc}{u}_{n+1}=p_{n+1}-\mathrm{0,4}& \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,9}{p}_n+\mathrm{0,04}-\mathrm{0,4}\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,9}{p}_n-\mathrm{0,36}\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,9}\times \left(p_n-\mathrm{0,4}\right)\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=\mathrm{0,9}{u}_n\hfill \end{array}$$

      Pour tout entier n, $u_{n+1}=\mathrm{0,9}{u}_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9.

      D'autre part, $u_0=p_0-\mathrm{0,4}$ d'où $u_0=\mathrm{0,55}-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,15}$.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $u_0=\mathrm{0,15}$

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   2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de n puis l'expression de $p_n$ en fonction de n.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $u_0=\mathrm{0,15}$ donc pour tout entier naturel n, $u_n=\mathrm{0,15}\times {\mathrm{0,9}}^n$.

      Comme pour tout entier naturel n, $u_n=p_n-\mathrm{0,4}\iff p_n=u_n+\mathrm{0,4}$, on en déduit :

      Pour tout entier naturel n, $p_n=\mathrm{0,15}\times {\mathrm{0,9}}^n+\mathrm{0,4}$.

      ---

   3. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$ et interpréter le résultat.

      $0<\mathrm{0,9}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,9}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,15}\times {\mathrm{0,9}}^n+\mathrm{0,4}=\mathrm{0,4}$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{p}_n=\mathrm{0,4}$.

      La suite $\left(p_n\right)$ converge vers 0,4. Au bout d'un certain nombre de mois après l'élection, la cote de popularité du président restera proche de 40 %.

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4. 1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $\mathrm{0,15}\times {\mathrm{0,9}}^n+\mathrm{0,4}⩽\mathrm{0,45}$.

      $$\begin{array}{cccc}\mathrm{0,15}\times {\mathrm{0,9}}^n+\mathrm{0,4}⩽\mathrm{0,45}& \iff & \mathrm{0,15}\times {\mathrm{0,9}}^n⩽\mathrm{0,05}\hfill & \\ & \iff & {\mathrm{0,9}}^n⩽{\displaystyle \frac{1}{3}}\hfill & \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,9}}^n\right)⩽\ln \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\hfill & \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\hfill \\ & \iff & n\ln \mathrm{0,9}⩽-\ln 3\hfill & \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\text{ et }\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{a}}}\right)=-\ln a\hfill \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{-\ln 3}{\ln \mathrm{0,9}}}\hfill & \ln \mathrm{0,9}<0\hfill \end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{-\ln 3}{\ln \mathrm{0,9}}}\approx \mathrm{10,4}$, le plus petit entier $n⩾{\displaystyle \frac{-\ln 3}{\ln \mathrm{0,9}}}$ est 11.

      L'ensemble des entiers naturels solutions de l'inéquation $\mathrm{0,15}\times {\mathrm{0,9}}^n+\mathrm{0,4}⩽\mathrm{0,45}$ sont les entiers supérieurs ou égal à 11.

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   2. Interpréter le résultat trouvé.

      Selon ce modèle, 11 mois après l'élection la cote de popularité du président sera inférieure à 45 %.

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