sujet : Antilles Guyane septembre 2013

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

1. 1. Déterminer $P_1$.

      La probabilité qu'une cliente achète une crème hydratante lors de la première vente promotionnelle est de 0,2 d'où $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$

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   2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets : V quand il y a achat ; $\bar{V}$ quand il n'y a pas achat.

      On considère que

      • Lorsqu'une cliente a acheté une crème hydratante lors d'une vente promotionnelle, la probabilité qu'elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8 d'où $p_{V_n}\left(V_{n+1}\right)=\mathrm{0,8}$ et $p_{V_n}\left({\bar{V}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$
      • Lorsqu'une cliente n'a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu'elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3 d'où $p_{{\stackrel{─}{V}}_n}\left(V_{n+1}\right)=\mathrm{0,3}$ et $p_{{\stackrel{─}{V}}_n}\left({\bar{V}}_{n+1}\right)=\mathrm{0,7}$

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. 1. Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe.

      La matrice de transition M de ce graphe telle que $P_{n+1}=P_n\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$.

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   2. Calculer $P_2$ et $P_3$. D'après ces résultats, quel est l'effet de ces trois premières ventes promotionnelles ?

      $$\begin{array}{cccc}& P_2=P_1\times M& \text{Soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\hfill \\ \text{et}& P_3=P_2\times M& \text{Soit}& P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$ et $P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)$. On constate une augmentation de la probabilité d'acheter une crème hydratante lors d'une vente promotionnelle.

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3. Justifier qu'il existe un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ pour cette situation. Le déterminer.

   Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ vérifiant : $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}a+\mathrm{0,3}b& \mathrm{0,2}a+\mathrm{0,7}b\end{array}\right)\end{array}$$

   D'où a et b vérifient la relation $a=\mathrm{0,8}a+\mathrm{0,3}b$. Comme d'autre part, $a+b=1$ on en déduit que a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{ccccccc}\{\begin{array}{c}a=\mathrm{0,8}a+\mathrm{0,3}b\hfill \\ a+b=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}\mathrm{0,2}a-\mathrm{0,3}b=0\hfill \\ a+b=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}\mathrm{0,5}a=\mathrm{0,3}\hfill \\ a+b=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}a=\mathrm{0,6}\hfill \\ b=\mathrm{0,4}\hfill \end{array}\end{array}$$

   L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$.

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4. L'étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. On représente les incompatibilités par le graphe suivant, où deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une même commande.
   Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une même commande.

   L'entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d'achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum ? Justifier votre réponse à l'aide d'un algorithme et proposer une répartition des produits.

   remarque :

   Le nombre chromatique d'un graphe n'est plus au programme, j'ai des doutes quant à la conformité de cette question avec les nouveaux programmes.

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   Le problème revient à chercher une coloration du graphe. Comme A-E-F-G-H est un sous graphe complet d'ordre 5, cinq couleurs au moins sont nécessaires à la coloration du graphe.

   L'entreprise doit prévoir au minimum cinq lots.

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   On colorie le graphe à l'aide de l'algorithme de Welsh & Powell :

   Les sommets étant classés dans l'ordre des degrés décroissants E ; G ; A ; F ; H ; B ; C ;D :

   On attribue successivement la couleur 1 au sommet E, la couleur 2 au sommet G, la couleur 3 au sommet A, la couleur 4 au sommet F et la couleur 5 au sommet H.
   Le sommet B n'est pas adjacent au sommet E on lui attribue la plus petite couleur disponible 1.
   Le sommet C est adjacent aux sommets E et G la plus petite couleur qui convienne est la couleur 3.
   Le sommet D est adjacent aux sommets E et B la plus petite couleur qui convienne est la couleur 2.

   L'algorithme de Welsh & Powell a permis de trouver une coloration du graphe à l'aide de nombre minimal de cinq couleurs :

   L'entreprise doit prévoir cinq lots ainsi constitués { E ; B }, { G ; D }, { A ; C }, { F } et { H }.

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