Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane septembre 2013

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à 10−2 près.
Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Deux roues sont disposées sur le stand d'un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques.
La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts.
La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes.
Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu'elle s'arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.
Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner la première roue et, lorsqu'elle s'arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.

partie a

Le joueur fait une partie. On note les évènements suivants :

  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

  2. Calculer la probabilité PBJ de l'évènement BJ.

  3. Démontrer que la probabilité PG que le joueur gagne un lot est égale à 0,23.

partie b

Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes. On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à 0,23.
Déterminer la probabilité que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties.

partie c

Durant le week-end, un grand nombre de personnes ont tenté leur chance à ce jeu.
On note X le nombre de parties gagnées durant cette période et on admet que X suit la loi normale d'espérance μ=45 et d'écart-type σ=5. Déterminer :

  1. la probabilité : P40<X<50 ;

  2. la probabilité qu'au moins 50 parties soient gagnées durant le week-end.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

La courbe C d'une fonction f définie et dérivable sur est donnée ci-dessous.
La courbe C passe par les points A-1e et B02e=exp1.
La tangente à la courbe C au point A est horizontale et la tangente à la courbe C au point B est la droite (BD), où D a pour coordonnées 20.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, sans justifier, si elle est vraie ou fausse en vous appuyant sur la représentation graphique ci-dessus.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

  1. L'équation fx=1 admet exactement trois solutions dans l'intervalle -23.

  2. La fonction f est convexe sur l'intervalle 13.

  3. f-1=0.

  4. f0=-1.

  5. fx0 sur l'intervalle 13.

  6. Une primitive F de la fonction f est croissante sur l'intervalle 13.

partie b

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
Une bonne réponse rapporte 1 point ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. L'ensemble des solutions de l'inéquation : 0,2lnx-10 est l'intervalle e+.

  2. On considère la fonction g définie sur 0+ par : gx=x2-2lnx.
    La fonction g est convexe sur l'intervalle 0+.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée.

Cette étude montre que lors de la sortie d'une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu'une cliente l'achète lors de la première vente promotionnelle est de 0,2.
De plus, lorsqu'une cliente a acheté une crème hydratante lors d'une vente promotionnelle, la probabilité qu'elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8. Lorsqu'une cliente n'a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu'elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3.

n étant un entier naturel non nul, on note :

    1. Déterminer P1.

    2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets : V quand il y a achat ; V¯ quand il n'y a pas achat.

    1. Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe.

    2. Calculer P2 et P3. D'après ces résultats, quel est l'effet de ces trois premières ventes promotionnelles ?

  1. Justifier qu'il existe un état stable P=ab pour cette situation. Le déterminer.

  2. L'étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. On représente les incompatibilités par le graphe suivant, où deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une même commande.
    Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une même commande.

    Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    L'entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d'achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum ? Justifier votre réponse à l'aide d'un algorithme et proposer une répartition des produits.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :

On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.

partie a

On donne l'algorithme suivant :

Entrée

Saisir n entier positif

Traitement :

X prend la valeur 80 {initialisation}

Pour i allant de 1 à n
Affecter à X la valeur 0,9X+20
Fin Pour

X prend la valeur de X arrondie à l'entier inférieur

Sortie

Afficher X

  1. Pour la valeur n=2 saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ?

  2. Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur n=2 saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme.

partie b

  1. On considère la suite an définie par a0=80 et, pour tout entier naturel n, an+1=0,9an+20. Pour tout entier naturel n, on pose : bn=an-200.

    1. Démontrer que bn est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.

    2. Exprimer bn en fonction de n.

  2. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : an=200-120×0,9n.

  3. Quelle est la limite de la suite an ?

partie c

  1. L'objectif du président du club est d'atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable ?

  2. Même question si l'objectif du président du club est d'atteindre au moins 300 adhérents.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction B définie sur 010 par Bx=x+4e-x-5, où x représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et Bx représente le bénéfice en milliers d'euros.

    1. Déterminer Bx, où B désigne la fonction dérivée de la fonction B.

    2. Démontrer que Bx s'annule uniquement pour x=ln4.

    3. Calculer les valeurs exactes de B0 ; B10 et Bln4.

    4. Dresser et compléter le tableau de variation de la fonction B sur 010.

    1. Justifier que l'équation Bx=0 possède une solution unique α sur ln410.

    2. Donner une valeur approchée à 10-2 de α.

  1. À partir de combien d'unités produites et vendues l'entreprise sera-t-elle bénéficiaire ?




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