sujet : Antilles Guyane septembre 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction B définie sur $\left[0;10\right]$ par $B\left(x\right)=x+4{\mathrm{e}}^{-x}-5$, où x représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et $B\left(x\right)$ représente le bénéfice en milliers d'euros.

1. 1. Déterminer $B\prime \left(x\right)$, où $B\prime$ désigne la fonction dérivée de la fonction B.

      $B\prime \left(x\right)=1-4{\mathrm{e}}^{-x}$

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   2. Démontrer que $B\prime \left(x\right)$ s'annule uniquement pour $x=\ln \left(4\right)$.

      $$\begin{array}{ccc}1-4{\mathrm{e}}^{-x}=0& \iff & {\mathrm{e}}^{-x}={\displaystyle \frac{1}{4}}\hfill \\ & \iff & -x=\ln \left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\hfill \\ & \iff & -x=-\ln 4\hfill \\ & \iff & x=\ln 4\hfill \end{array}$$

      L'équation $B\prime \left(x\right)=0$ a pour unique solution $x=\ln 4$.

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   3. Calculer les valeurs exactes de $B\left(0\right)$ ; $B\left(10\right)$ et $B\left(\ln \left(4\right)\right)$.

      $$\begin{array}{c}B\left(0\right)=4{\mathrm{e}}^0-5=-1\hfill \\ B\left(10\right)=10+4{\mathrm{e}}^{-10}-5=4{\mathrm{e}}^{-10}+5\hfill \\ B\left(\ln 4\right)=\ln 4+4\times {\displaystyle \frac{1}{4}}-5=\ln 4-4\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $B\left(0\right)=-1$ ; $B\left(10\right)=4{\mathrm{e}}^{-10}+5$ et $B\left(\ln 4\right)=\ln 4-4$.

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   4. Dresser et compléter le tableau de variation de la fonction B sur $\left[0;10\right]$.

      Les variations de la fonction B se déduisent du signe de sa dérivée. Or $$\begin{array}{ccc}1-4{\mathrm{e}}^{-x}⩽0& \iff & {\mathrm{e}}^{-x}⩾{\displaystyle \frac{1}{4}}\hfill \\ & \iff & -x⩾-\ln 4\hfill \\ & \iff & x⩽\ln 4\hfill \end{array}$$

      D'où le tableau de variation de la fonction B sur $\left[0;10\right]$ :

      x	0		$\ln 4$		10
      $B\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $B\left(x\right)$	$-1$		$\ln 4-4$		$4{\mathrm{e}}^{-10}+5$

2. 1. Justifier que l'équation $B\left(x\right)=0$ possède une solution unique α sur $\left[\ln \left(4\right);10\right]$.

      La fonction B est dérivable sur $\left[0;10\right]$ donc continue sur $\left[0;10\right]$. $B\left(\ln 4\right)\approx -\mathrm{2,6}$ et $B\left(10\right)\approx 5$.

      Sur l'intervalle $\left[\ln \left(4\right);10\right]$, la fonction B est continue, strictement décroissante et $B\left(\ln 4\right)<0<B\left(10\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      l'équation $B\left(x\right)=0$ possède une solution unique α sur $\left[\ln \left(4\right);10\right]$.

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   2. Donner une valeur approchée à 10^-2 de α.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{4,97}$

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3. À partir de combien d'unités produites et vendues l'entreprise sera-t-elle bénéficiaire ?

   L'entreprise est bénéficiaire pour une production x telle que $B\left(x\right)>0$. Comme la fonction B est croissante sur l'intervalle $\left[\ln \left(4\right);10\right]$ et que $B\left(\alpha \right)=0$, on en déduit que sur l'intervalle $\left[\ln \left(4\right);10\right]$ : $$B\left(x\right)>0\iff x>\alpha$$

   L'entreprise sera bénéficiaire à partir de la vente de 498 pièces.

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