sujet : France métropolitaine, La Réunion 2013

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

partie a : généralités

1. 1. D'après les données de l'énoncé, préciser $p_A\left(D\right)$ et $p_B\left(D\right)$.

      • La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité A est égale à 0,014 d'où $p_A\left(D\right)=\mathrm{0,014}$

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      • La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité B est égale à 0,024 d'où $p_B\left(D\right)=\mathrm{0,024}$

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   2. Calculer $p\left(A\right)$ et $p\left(B\right)$.

      La production journalière de l'usine A est de 600 pièces, celle de l'unité B est de 900 pièces d'où une production totale de $600+900=1500$ pièces.

      Ainsi, $p\left(A\right)={\displaystyle \frac{600}{1500}}=\mathrm{0,4}$ et $p\left(B\right)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$.

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2. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :

3. 1. Calculer $p\left(A\cap D\right)$ et $p\left(B\cap D\right)$.

      $$\begin{array}{ccccccc}p\left(A\cap D\right)& =& p_A\left(D\right)\times p\left(A\right)\hfill & \text{et}& p\left(B\cap D\right)& =& p_B\left(D\right)\times p\left(B\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,014}\times \mathrm{0,4}\hfill & & & =& \mathrm{0,024}\times \mathrm{0,6}\hfill \\ & =& \mathrm{0,0056}\hfill & & & =& \mathrm{0,0144}\hfill \end{array}$$

      $p\left(A\cap D\right)=\mathrm{0,0056}$ et $p\left(B\cap D\right)=\mathrm{0,0144}$.

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   2. En déduire $p\left(D\right)$.

      D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{ccc}p\left(D\right)& =& p\left(A\cap D\right)+p\left(B\cap D\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,0056}+\mathrm{0,0144}\hfill \\ & =& \mathrm{0,02}\hfill \end{array}$$

      La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure est égale à 0,02.

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4. On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'unité A ?

   $$\begin{array}{ccc}{p}_D\left(A\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap D\right)}{p\left(D\right)}}& \text{Soit}& p_D\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0056}}{\mathrm{0,02}}}=\mathrm{0,28}\end{array}$$

   La probabilité qu'un composant présentant un défaut de soudure provienne de l'unité A est égale à 0,28.

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partie b : contrôle de qualité

1. Calculer la probabilité $p_1$ de l'évènement : « La résistance du composant est supérieure à 211 ohms ».

   • avec la table

     $$\begin{array}{ccc}P\left(X>211\right)& =& 1-P\left(X⩽211\right)\hfill \\ & =& 1-\mathrm{0,9987}\hfill \\ & =& \mathrm{0,0013}\hfill \end{array}$$

   • avec la calculatrice

     La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale de moyenne de moyenne 200,5 et d'écart type 3,5 : $$\begin{array}{ccc}P\left(X>211\right)& =& P\left(X⩾\mathrm{200,5}\right)-P\left(\mathrm{200,5}⩽X⩽211\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(\mathrm{200,5}⩽X⩽211\right)\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,0013}\hfill \end{array}$$

   La probabilité $p_1$ de l'évènement : « La résistance du composant est supérieure à 211 ohms » est égale à 0,0013.

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2. Calculer la probabilité $p_2$ de l'évènement : « La résistance du composant est comprise dans l'intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé ».

   • avec la table

     $$\begin{array}{ccc}P\left(195⩽X⩽205\right)& =& P\left(X⩽205\right)-P\left(X⩽195\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,9007}-\mathrm{0,058}\hfill \\ & =& \mathrm{0,8427}\hfill \end{array}$$

   • avec la calculatrice

     $$P\left(195⩽X⩽205\right)\approx \mathrm{0,8427}$$

   La probabilité $p_2$ de l'évènement : « La résistance du composant est comprise dans l'intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé » est égale à 0,8427.

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3. On prélève au hasard dans la production trois composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l'un de l'autre et que la probabilité qu'un composant soit accepté est égale à 0,84.
   Déterminer la probabilité p qu'exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés.

   Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre composants acceptés. Les prélèvements étant indépendants l'un de l'autre, X suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0,84 d'où : $$P\left(X=2\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\times {\mathrm{0,84}}^2\times \left(1-\mathrm{0,84}\right)\approx \mathrm{0,3387}$$

   La probabilité p qu'exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés est égale à 0,3387.

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