Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France métropolitaine, La Réunion 2013

Corrigé de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans cet exercice on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinémas, vidéos, …).

On note Dn la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année 1995 + n.

année19951996199719981999200020012002
n01234567
Dn4,955,155,255,45,76,36,556,9
 
année20032004200520062007200820092010
n89101112131415
Dn 7,37,757,657,79 7,647,827,898,08

Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel f, par f(x)=-0,0032x3+0,06x2+5.
Pour tout entier n vérifiant 0n20, on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année 1995 + n par le nombre f(n).

  1. Calculer f(5).

    f(5)=-0,0032×125+0,06×25+5=6,1

    f(5)=6,1.


  2. Déterminer le pourcentage p, de l'erreur commise en remplaçant D5 par f(5). (Le pourcentage d'erreur est obtenu par le calcul : p=valeur réelle - valeur estiméevaleur réelle et le résultat sera donné à 0,1% près.)

    p=6,3-6,16,30,032

    L'erreur commise en remplaçant D5 par f(5) est d'environ 3,2%.


  3. En utilisant la fonction f, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année 2013 ? (On arrondira le résultat au centième de milliard d'euros).

    f(18)=-0,0032×183+0,06×182+55,78

    Avec ce modèle, la dépense des ménages français en programmes audiovisuels pour l'année 2013 serait d'environ 5,78 milliards d'euros.


  4. On veut utiliser la fonction f pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015. On calcule pour cela M=120020f(x)dx.

    1. Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle I=[0;20].

      Une primitive F de la fonction f sur l'intervalle I=[0;20] est définie par :F(x)=-0,0032×x44+0,06×x33+5x=-0,0008x4+0,02x3+5x

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle [0;20] par F(x)=-0,0008x4+0,02x3+5x.


    2. Calculer M.

      M=120020f(x)dx=120×[F(20)-F(0)]=-0,0008×204+0,02×203+5×2020=6,6

      La dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015 est de 6,6 milliards d'euros.



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