Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France métropolitaine, La Réunion 2013

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

question 1

Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d'un capital de 2 500 euros.
À partir du premier septembre 2013, il place son capital $c_{0} = 2500$ sur un compte rapportant 0,2% d'intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.

On note $c_{n}$ le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple le capital disponible au début du mois d'octobre vaudra : $c_{1} = 1,002 c_{0} - 425 = 2080$ euros.

L'année universitaire s'achève à la fin du mois de juin 2014.

On admet que la suite des capitaux $(c_{n})$ est décrite par les relations :

$c_{0} = 2500$
Pour tout entier naturel n, $c_{n + 1} = 1,002 \times c_{n} - 425$

PROPOSITION : Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du début du mois de mars 2014.

Calculons les montants disponibles au début de chaque mois à l'aide de la relation de récurrence $c_{n + 1} = 1,002 \times c_{n} - 425$

Mois	Septembre	Octobre	Novembre	Décembre	Janvier	Février	Mars
Rang n du mois	0	1	2	3	4	5	6
Montant du capital disponible $(c_{n})$	2500	2080	1659,16	1237,48	814,95	391,58	− 32,63

La proposition « Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du début du mois de mars 2014 » est VRAIE.

question 2

Sur $I =] 0; + \infty [$ , on définit la fonction f par $f (x) = 2 x + 1 - \ln x$ .

PROPOSITION : f est une fonction convexe sur I.

f est dérivable comme somme de fonctions dérivables. Pour tout réel x strictement positif, $\begin{matrix} f' (x) = 2 - \frac{1}{x} & et & f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} \end{matrix}$

Sur l'intervalle $I =] 0; + \infty [$ la dérivée seconde est positive donc :

La proposition « f est une fonction convexe sur I » est VRAIE.

question 3

On définit sur l'intervalle $I =] 0; + \infty [$ , $F (x) = 2 x \ln x - 2 x + 5$ . On a effectué à l'aide d'un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :

dériver $((2 x) * \ln (x) - 2 x + 5)$

$2 * \ln (x) + \frac{2 * x}{x} - 2$

simplifier $(2 * \ln (x) + \frac{2 * x}{x} - 2)$

$\ln (x^{2})$

PROPOSITION : F est une primitive de la fonction f définie sur I par $f (x) = 2 \ln x$ .

Pour tout réel x strictement positif, $\ln (x^{2}) = 2 \ln x$ . Donc pour tout réel x de l'intervalle $I =] 0; + \infty [$ , $F' (x) = f (x)$ . Donc :

La proposition « F est une primitive de la fonction f » est VRAIE.

question 4

X est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $μ = 0$ et d'écart-type $σ = 0,6$ .

PROPOSITION : $P (- 0,6 ⩽ X ⩽ 0,6) \approx 0,68$ .

D'après le cours, si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale $𝒩 (μ; σ^{2})$ alors : $P (μ - σ ⩽ X ⩽ μ + σ) \approx 0,68$

La proposition « $P (- 0,6 ⩽ X ⩽ 0,6) \approx 0,68$ » est VRAIE.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.