Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France métropolitaine, La Réunion 2013

exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B.
La production journalière de l'usine A est de 600 pièces, celle de l'unité B est de 900 pièces.

On prélève au hasard un composant de la production d'une journée.

La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité A est égale à 0,014.
La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité B est égale à 0,024.

On note :

On note pD la probabilité de l'évènement D et pAD la probabilité de l'évènement D sachant que l'évènement A est réalisé.

partie a : généralités

    1. D'après les données de l'énoncé, préciser pAD et pBD.

    2. Calculer pA et pB.

  1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer pAD et pBD.

    2. En déduire pD.

  2. On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'unité A ?

partie b : contrôle de qualité

On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms.

On admet que la variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale de moyenne μ=200,5 et d'écart-type σ=3,5.

On prélève un composant dans la production.

Les résultats seront arrondis à 0,0001 près ; ils pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe 1.

  1. Calculer la probabilité p1 de l'évènement : « La résistance du composant est supérieure à 211 ohms ».

  2. Calculer la probabilité p2 de l'évènement :« La résistance du composant est comprise dans l'intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé ».

  3. On prélève au hasard dans la production trois composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l'un de l'autre et que la probabilité qu'un composant soit accepté est égale à 0,84.
    Déterminer la probabilité p qu'exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés.

ANNEXE 1

Extrait de la table de la loi normale pour μ=200,5 et σ=3,5.

tpXttpXttpXt
186 0,0000 196 0,0993 206 0,9420
187 0,0001 197 0,1587 207 0,9684
188 0,0002 198 0,2375 208 0,9839
189 0,0005 199 0,3341 209 0,9924
190 0,0013 200 0,4432 210 0,9967
191 0,0033 201 0,5568 211 0,9987
192 0,0076 202 0,6659 212 0,9995
193 0,0161 203 0,7625 213 0,9998
194 0,0316 204 0,8413 214 0,9999
195 0,0580 205 0,9007 215 1,0000

EXERCICE 2 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

question 1

Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d'un capital de 2 500 euros.
À partir du premier septembre 2013, il place son capital c0=2500 sur un compte rapportant 0,2% d'intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.

On note cn le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple le capital disponible au début du mois d'octobre vaudra : c1=1,002c0-425=2080 euros.

L'année universitaire s'achève à la fin du mois de juin 2014.

On admet que la suite des capitaux cn est décrite par les relations :

PROPOSITION : Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du début du mois de mars 2014.

question 2

Sur I=0+, on définit la fonction f par fx=2x+1-lnx.

PROPOSITION : f est une fonction convexe sur I.

question 3

On définit sur l'intervalle I=0+, Fx=2xlnx-2x+5. On a effectué à l'aide d'un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :

1

dériver2x*lnx-2x+5

2*lnx+2*xx-2

2

simplifier2*lnx+2*xx-2

lnx2

PROPOSITION : F est une primitive de la fonction f définie sur I par fx=2lnx.

question 4

X est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance μ=0 et d'écart-type σ=0,6.

PROPOSITION : P-0,6X0,60,68.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l'industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.
L'entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (x varie donc dans l'intervalle 03,6).
Le bénéfice hebdomadaire est noté Bx, il est exprimé en milliers d'euros.

L'objet de cet exercice est d'étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

partie a : étude graphique

On a représenté, en annexe 2, la fonction B dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.
Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

  1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros.

  2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l'entreprise ?
    Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ?

partie b : étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire noté Bx, exprimé en milliers d'euros vaut Bx=-5+4-xex.

    1. On note B la fonction dérivée de la fonction B.
      Montrer que pour tout réel x de l'intervalle I=03,6, on a : Bx=3-xex.

    2. Déterminer le signe de la fonction dérivée B sur l'intervalle I.

    3. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle I. On indiquera les valeurs de la fonction B aux bornes de l'intervalle.

    1. Justifier que l'équation Bx=13 admet deux solutions x1 et x2, l'une dans l'intervalle 03 l'autre dans l'intervalle 33,6.

    2. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions.

ANNEXE 2

Courbe représentative de la fonction B : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

EXERCICE 4 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinémas, vidéos, …).

On note Dn la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année 1995 + n.

année19951996199719981999200020012002
n01234567
Dn4,955,155,255,45,76,36,556,9
 
année20032004200520062007200820092010
n89101112131415
Dn 7,37,757,657,79 7,647,827,898,08

Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel f, par fx=-0,0032x3+0,06x2+5.
Pour tout entier n vérifiant 0n20, on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année 1995 + n par le nombre fn.

  1. Calculer f5.

  2. Déterminer le pourcentage p, de l'erreur commise en remplaçant D5 par f5.
    (Le pourcentage d'erreur est obtenu par le calcul : p=valeur réelle - valeur estiméevaleur réelle et le résultat sera donné à 0,1% près.)

  3. En utilisant la fonction f, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année 2013 ? (On arrondira le résultat au centième de milliard d'euros).

  4. On veut utiliser la fonction f pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015.
    On calcule pour cela M=120020fxdx.

    1. Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle I=020.

    2. Calculer M.


EXERCICE 4 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d'Aoste.
Quatre fois par mois, son employeur l'envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence.
Il est établi que le trajet en camion coûte, en carburant, 0,51 euro au kilomètre. Le chauffeur dispose d'un budget mensuel de 2200 euros pour son carburant. Ce qu'il réussit à économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois.
Il consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets.

Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes villes d'Italie : Aoste, Milan, Parme, Turin, Gènes, La Spézia, Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.

Graphe du parcours : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les deux parties sont indépendantes.

partie a : étude du trajet

  1. Déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence. (On indiquera les villes parcourues et l'ordre de parcours).

  2. Déterminer le budget carburant nécessaire aux quatre voyages aller-retour du mois (le résultat sera arrondi à l'euro près).
    En déduire le montant de la prime P qui lui sera versée en fin de mois, à l'euro près.

partie b : traversée de Parme

Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu'il est rouge, il s'arrête.

L'expérience lui a permis d'établir que s'il se présente à un feu, il se produit les évènements suivants :

  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste.

  2. Indiquer la matrice de transition M du graphe, en considérant les sommets dans l'ordre (V, R) en ligne comme en colonne.

  3. Le premier feu rencontré est vert. La matrice P1 donnant l'état initial est donc 10.

    1. Déterminer les matrices P2=P1×M et P3=P2×M. (Le détail des calculs n'est pas demandé.)

    2. Conclure quant à la probabilité p de l'évènement « Le chauffeur doit s'arrêter au troisième feu ».



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✉ A.Yallouz

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