Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France métropolitaine, La Réunion 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l'industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.
L'entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (x varie donc dans l'intervalle $[0; 3,6]$ ).
Le bénéfice hebdomadaire est noté $B (x)$ , il est exprimé en milliers d'euros.

L'objet de cet exercice est d'étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

partie a : étude graphique

On a représenté, en annexe 2, la fonction B dans un repère du plan.
Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.
Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros.
Avec la précision permise par le graphique, la courbe est au dessus de la droite d'équation $y = 13$ sur l'intervalle $[2,5; 3,4]$ .
Pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros, il faut vendre entre 2500 et 3400 poulies (ou pour être certain, entre 2500 et 3300 poulies)
Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l'entreprise ? Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ?
Le maximum de la fonction B est atteint pour $x = 3$ et est supérieur à 15.
Le bénéfice maximum envisageable pour l'entreprise est d'environ 15 000 euros, obtenue pour la vente de 3 000 poulies.

partie b : étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire noté $B (x)$ , exprimé en milliers d'euros vaut $B (x) = - 5 + (4 - x) e^{x}$ .

On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction B. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $I = [0; 3,6]$ , on a : $B' (x) = (3 - x) e^{x}$ .
La fonction B est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables. $B = - 5 + u v$ d'où $B' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $I = [0; 3,6]$ : ${\begin{matrix} u (x) = 4 - x & ; & u' (x) = - 1 \\ v (x) = e^{x} & ; & v' (x) = e^{x} \end{matrix}$
D'où pour tout réel x de l'intervalle $[0; 3,6]$ , $\begin{matrix} B' (x) & = & - e^{x} + (4 - x) e^{x} \\ = & (3 - x) e^{x} \end{matrix}$
$B'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 3,6]$ , par $B' (x) = (3 - x) e^{x}$ .
Déterminer le signe de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle I.
Pour tout réel x, $e^{x} > 0$ donc sur l'intervalle $[0; 3,6]$ , $B' (x)$ est du même signe que $3 - x$ . D'où le tableau du signe de $B' (x)$ :
x 0 3 3,6
Signe de $B' (x)$ + $0_{|}^{|}$ −

Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle I. On indiquera les valeurs de la fonction B aux bornes de l'intervalle.

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

x	0		3		3,6
Signe de $B' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
Variations de B	$- 1$		$e^{3} - 5$		$0,4 e^{3,6} - 5$

1. Justifier que l'équation $B (x) = 13$ admet deux solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ , l'une dans l'intervalle $[0; 3]$ l'autre dans l'intervalle $[3; 3,6]$ .
  La fonction B est dérivable donc continue. Le maximum de la fonction B est $B (3) = e^{3} - 5 \approx 15,086$ et, dautre part, $B (3,6) = 0,4 e^{3,6} - 5 \approx 9,639$ .
  Par conséquent, sur chacun des intervalles où la fonction est monotone, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ ., l'équation $B (x) = 13$ admet une solution unique.
  L'équation $B (x) = 13$ admet deux solutions $x_{1} \in [0; 3]$ et $x_{2} \in [3; 3,6]$ .
2. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions.
  Arrondies à 0,01 près, $x_{1} \approx 2,46$ et $x_{2} \approx 3,40$ .

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