sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2013

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

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1. La tangente traverse la courbe $C_f$ en un seul point d'abscisse 1. Le point A est le seul point d'inflexion et la courbe $C_f$ est au dessus de la tangente dès que l'abscisse du point est supérieure à 1.

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   1. f est convexe sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$.

   2. f est concave sur l'intervalle $\left]1;2\right[$.

   3. f est convexe sur l'intervalle $\left]1;3\right[$.

   4. $C_f$ est au dessus de sa tangente au point d'abscisse $-1$.

2. Les trois premières propositions sont fausses. Déterminons une équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse 1.
   La droite D passant par les points de coordonnées $\left(0;5\right)$ et $\left(1;2\right)$ a pour équation $y=-3x+5$.

   1. $f\left(1\right)=5$

   2. $f\prime \left(1\right)=2$

   3. $f\prime \prime \left(1\right)=-3$

   4. La tangente à $C_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=-3x+5$.

3. La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left]1;3\right[$. Donc $f\prime$ est croissante sur l'intervalle $\left]1;3\right[$.

   1. $f\prime \left(x\right)>0$ pour tout x de l'intervalle $\left]-1;2\right[$.

   2. $f\prime$ est croissante sur l'intervalle $\left]1;2\right[$.

   3. $f\left(x\right)=0$ si et seulement si $x=0$ ou $x=2$

   4. $f\prime \left(x\right)⩽0$ pour tout x de l'intervalle $\left]-2;-1\right[$.

4. L'aire du domaine compris entre la courbe $C_f$ laxe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$ est comprise entre 3 et 5 unités d'aire donc $3<{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<5$.

   1. ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<0$.

   2. $3<{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<6$.

   3. ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ .

   4. La valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ est égale à 1.

5. F est une primitive de f. Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[-1;3\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Or $f\left(x\right)⩾0$ d'où F est croissante.

   1. $f\prime$ est croissante sur l'intervalle $\left]-1;2\right[$.

   2. F est croissante sur l'intervalle $\left]-1;2\right[$.

   3. f est croissante sur l'intervalle $\left]-1;2\right[$.

   4. $F\left(1\right)>F\left(2\right)$

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