Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le responsable du foyer des jeunes d'un village a décidé d'organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions.
D'après les renseignements pris auprès d'autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d'une année sur l'autre, 90 % des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées.
On désigne par un le nombre d'exposants en 2012+n avec n un entier naturel.
Ainsi u0 est le nombre d'exposants en 2012, soit u0=110.

  1. Quel est le nombre d'exposants attendu pour 2013 ?

    u1=90100×110+30=129

    Selon ce modèle, il devrait y avoir 129 exposants en 2013.


  2. Justifier que, pour tout entier naturel n, un+1=0,9un+30.

    D'une année sur l'autre, 90 % des exposants se réinscriront et 30 nouvelles demandes seront déposées d'où :

    pour tout entier naturel n, un+1=0,9un+30.


  3. Vu la configuration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d'exposants ne peut pas excéder 220.
    Recopier et compléter l'algorithme proposé ci-dessous afin qu'il permette de déterminer l'année à partir de laquelle l'organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d'inscription.

    Variables :

    u est un nombre réel
    n est un nombre entier naturel

    Initialisation :

    Affecter à u la valeur 110
    Affecter à n la valeur 2012

    Traitement :

    Tant que u220

    • Affecter à u la valeur 0,9×u+30
    • Affecter à n la valeur n+1

    Sortie

    Afficher n

  4. Pour tout entier naturel n, on pose vn=un-300.

    1. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,9.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-300=0,9un+30-300=0,9un-270=0,9×(un-300)=0,9vn

      Pour tout entier n, vn+1=0,9vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,9.


    2. En déduire que pour tout entier naturel n, un=-190×0,9n+300.

      (vn) est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme v0=u0-300soitv0=110-300=-190 Donc pour tout entier n, vn=-190×0,9n. D'autre part, pour tout entier n, vn=un-300 d'où un=vn+300.

      Donc pour tout entier n, un=-190×0,9n+300.


    3. Déterminer le résultat recherché par l'algorithme de la question 3 en résolvant une inéquation.

      On cherche le plus petit entier n tel que un>220. Soit -190×0,9n+300>220-190×0,9n>-800,9n<819ln(0,9n)<ln(819)La fonction logarithme est croissantenln0,9<ln(819)Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln(819)ln0,9ln0,9<0

      Or ln(819)ln0,98,2 par conséquent, le plus petit entier n pour lequel un>220 est 9.

      À partir de 2021 l'organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d'inscription.


  5. L'organisateur décide d'effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir assez de place pour ne jamais refuser d'inscriptions. Il affirme au maire qu'il suffit de lui autoriser 300 emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ? Pourquoi ?

    Il suffit de montrer que pour tout entier n, un300. Or -190×0,9n+300300-190×0,9n00,9n0

    Ainsi, pour tout entier n, un300. L'organisateur a raison de demander à la mairie de lui autoriser 300 emplacements pour ne jamais refuser d'inscriptions.



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