sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le responsable du foyer des jeunes d'un village a décidé d'organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions.
D'après les renseignements pris auprès d'autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d'une année sur l'autre, 90 % des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées.
On désigne par $u_n$ le nombre d'exposants en $2012+n$ avec n un entier naturel.
Ainsi $u_0$ est le nombre d'exposants en 2012, soit $u_0=110$.

1. Quel est le nombre d'exposants attendu pour 2013 ?

   $$u_1={\displaystyle \frac{90}{100}}\times 110+30=129$$

   Selon ce modèle, il devrait y avoir 129 exposants en 2013.

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2. Justifier que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,9}{u}_n+30$.

   D'une année sur l'autre, 90 % des exposants se réinscriront et 30 nouvelles demandes seront déposées d'où :

   pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,9}{u}_n+30$.

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3. Vu la configuration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d'exposants ne peut pas excéder 220.
   Recopier et compléter l'algorithme proposé ci-dessous afin qu'il permette de déterminer l'année à partir de laquelle l'organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d'inscription.

   Variables :	u est un nombre réel n est un nombre entier naturel
   Initialisation :	Affecter à u la valeur 110 Affecter à n la valeur 2012
   Traitement :	Tant que $u⩽220$ Affecter à u la valeur $\mathrm{0,9}\times u+30$ Affecter à n la valeur $n+1$
   Sortie	Afficher n

4. Pour tout entier naturel n, on pose $v_n=u_n-300$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-300\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}{u}_n+30-300\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}{u}_n-270\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}\times \left(u_n-300\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Pour tout entier n, $v_{n+1}=\mathrm{0,9}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9.

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   2. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_n=-190\times {\mathrm{0,9}}^n+300$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $$\begin{array}{ccc}{v}_0=u_0-300& \text{soit}& v_0=110-300=-190\end{array}$$ Donc pour tout entier n, $v_n=-190\times {\mathrm{0,9}}^n$. D'autre part, pour tout entier n, $v_n=u_n-300$ d'où $u_n=v_n+300$.

      Donc pour tout entier n, $u_n=-190\times {\mathrm{0,9}}^n+300$.

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   3. Déterminer le résultat recherché par l'algorithme de la question 3 en résolvant une inéquation.

      On cherche le plus petit entier n tel que $u_n>220$. Soit $$\begin{array}{llll}-190\times {\mathrm{0,9}}^n+300>220& \iff & -190\times {\mathrm{0,9}}^n>-80\hfill & \\ & \iff & {\mathrm{0,9}}^n<{\displaystyle \frac{8}{19}}\hfill & \hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,9}}^n\right)<\ln \left({\displaystyle \frac{8}{19}}\right)\hfill & \text{La fonction logarithme est croissante}\hfill \\ & \iff & n\ln \mathrm{0,9}<\ln \left({\displaystyle \frac{8}{19}}\right)\hfill & \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\hfill \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{8}{19}}\right)}{\ln \mathrm{0,9}}}\hfill & \ln \mathrm{0,9}<0\hfill \end{array}$$

      Or ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{8}{19}}\right)}{\ln \mathrm{0,9}}}\approx \mathrm{8,2}$ par conséquent, le plus petit entier n pour lequel $u_n>220$ est 9.

      À partir de 2021 l'organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d'inscription.

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5. L'organisateur décide d'effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir assez de place pour ne jamais refuser d'inscriptions. Il affirme au maire qu'il suffit de lui autoriser 300 emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ? Pourquoi ?

   Il suffit de montrer que pour tout entier n, $u_n⩽300$. Or $$\begin{array}{ccc}-190\times {\mathrm{0,9}}^n+300⩽300& \iff & -190\times {\mathrm{0,9}}^n⩽0\hfill \\ & \iff & {\mathrm{0,9}}^n⩾0\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier n, $u_n⩽300$. L'organisateur a raison de demander à la mairie de lui autoriser 300 emplacements pour ne jamais refuser d'inscriptions.

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