sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[-10;30\right]$ par $f\left(x\right)=5+x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-1}$. On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.

1. Soit $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.
   Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle $\left[-10;30\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(\mathrm{0,2}x+1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-1}$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[-10;30\right]$, posons $$\begin{array}{cccc}& u\left(x\right)=x\hfill & \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-1}\hfill \\ \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\hfill & \text{et}& v\prime \left(x\right)=\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-1}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f=5+u\times v$ d'où $f\prime =0+u\prime \times v+u\times v\prime$. Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[-10;30\right]$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& 0+1\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-1}+x\times \mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-1}\\ & =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-1}\times \left(\mathrm{0,2}x+1\right)\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[-10;30\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(\mathrm{0,2}x+1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-1}$.

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2. En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle $\left[-10;30\right]$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-1}>0$ d'où $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\mathrm{0,2}x+1$. Or $$\mathrm{0,2}x+1>0\iff x>-5$$

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

   x	− 10		− 5		30
   $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$	$5-10{\mathrm{e}}^{-3}$		$5-5{\mathrm{e}}^{-2}$		$5+30{\mathrm{e}}^5$

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3. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=80$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[0;20\right]$ et donner un encadrement de α à 0,1 près.

   • Sur l'intervalle $\left[-10;-5\right]$ la fonction f est strictement décroissante d'où pour tout réel x de l'intervalle $\left[-10;-5\right]$, $f\left(x\right)⩽5-10{\mathrm{e}}^{-3}$. Par conséquent, l'équation $f\left(x\right)=80$ n'a pas de solution dans l'intervalle $\left[-10;-5\right]$.

   • Sur l'intervalle $\left[-5;30\right]$ la fonction f est continue, strictement croissante et $f\left(0\right)<80<f\left(20\right)$ ($f\left(0\right)=5$ et $f\left(20\right)\approx \mathrm{406,7}$) alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

     L'équation $f\left(x\right)=80$ admet une unique solution $\alpha \in \left[0;20\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{13,6}$

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4. Soit F la fonction définie sur $\left[-10;30\right]$ par $F\left(x\right)=5\left(x-5\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-1}+5x$. On admet que F est une primitive de f dans l'intervalle $\left[-10;30\right]$.

   1. Calculer la valeur exacte de $I={\displaystyle {\int }_5^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      F est une primitive de f dans l'intervalle $\left[-10;30\right]$ d'où $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_5^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(10\right)-F\left(5\right)\hfill \\ & =& 5\times 5\times \mathrm{e}+50-25\hfill \\ & =& 25\mathrm{e}+25\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $I={\displaystyle {\int }_5^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=25\mathrm{e}+25$.

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   2. En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[5;10\right]$. (On donnera une valeur arrondie au centième.)

      La valeur moyenne m de la fonction f sur l'intervalle $\left[5;10\right]$ est $$m={\displaystyle \frac{1}{10-5}}\times {\displaystyle {\int }_5^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{25\mathrm{e}+25}{5}}=5\mathrm{e}+5$$

      La valeur moyenne m de la fonction f sur l'intervalle $\left[5;10\right]$ est $m=5\mathrm{e}+5$. Soit arrondie au centième près, $m\approx \mathrm{18,59}$.

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partie b

En 2010, un styliste a décidé d'ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d'abord dans son pays d'origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.
Il a utilisé la fonction f définie dans la partie A mais seulement sur l'intervalle $\left[0;20\right]$ pour modéliser son développement et a désigné par $f\left(x\right)$ le nombre de magasins de son enseigne existant en $2010+x$.

1. Calculer $f\left(0\right)$ et interpréter le résultat.

   $f\left(0\right)=5$. En 2010, le styliste a ouvert 5 boutiques.

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2. En utilisant la partie A, indiquer à partir de quelle année la chaîne possédera 80 boutiques.

   L'équation $f\left(x\right)=80$ admet une unique solution $\alpha \approx \mathrm{13,6}$ donc la chaîne possédera 80 boutiques au cours de la quatorzième année.

   La chaîne possédera au moins 80 boutiques en 2024.

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3. Chaque magasin a un chiffre d'affaires journalier moyen de 2500 euros.
   Si on considère qu'un magasin est ouvert 300 jours par an, calculer à la centaine d'euros près, le chiffre d'affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l'ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020.

   Le chiffre d'affaires annuel moyen par magasin est de : $$2500\times 300=750000$$

   Entre 2015 et 2020, le nombre annuel moyen de boutiques est égal à la valeur moyenne m de la fonction f sur l'intervalle $\left[5;10\right]$. Par conséquent, le chiffre d'affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l'ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020 est : $$750000\times \left(5\mathrm{e}+5\right)\approx 13943600$$

   Arrondi à la centaine d'euros près, le chiffre d'affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l'ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020 est de 13 943 600 €.

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