Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France métropolitaine, La Réunion septembre 2013

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Un lycée d'une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d'orientation post-bac.

partie a

Une des écoles a effectué une étude sur la mobilité des étudiants de la promotion de 2008 en ce qui concerne les choix de carrière.
Elle a relevé qu'en 2008, à la fin de leurs études, 25 % des diplômés sont partis travailler à l'étranger alors que le reste de la promotion a trouvé du travail en France.
On a observé ensuite qu'à la fin de chaque année, 20 % des personnes ayant opté pour l'étranger reviennent sur un poste en France alors que 10 % des personnes travaillant en France trouvent un poste à l'étranger. On considère que cette situation perdure.

On note $P_{n} = (\begin{matrix} e_{n} & l_{n} \end{matrix})$ la matrice correspondant à l'état probabiliste en $2008 + n$ , avec $e_{n}$ la probabilité que la personne travaille à l'étranger, $l_{n}$ celle qu'elle travaille en France.
Ainsi $P_{0} = (\begin{matrix} 0,25 & 0,75 \end{matrix})$ .

Proposer le graphe probabiliste associé à cette situation. On désignera par E (étranger) et F (France) les deux sommets.
À la fin de chaque année :
- 20 % des personnes ayant opté pour l'étranger reviennent sur un poste en France d'où $p_{E_{n}} (F_{n + 1}) = 0,2$ et $p_{E_{n}} (E_{n + 1}) = 0,8$ ;
- 10 % des personnes travaillant en France trouvent un poste à l'étranger d'où $p_{F_{n}} (E_{n + 1}) = 0,1$ et $p_{F_{n}} (F_{n + 1}) = 0,9$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Donner la matrice de transition M associée en prenant les sommets dans l'ordre E puis F.
La matrice de transition M de ce graphe telle que $(\begin{matrix} e_{n + 1} & l_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} e_{n} & l_{n} \end{matrix}) \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix})$ .
Montrer qu'en 2011, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l'étranger est de 30,475 %.
L'état probabiliste $P_{3}$ en 2011 est : $\begin{matrix} P_{3} = P_{0} \times M^{3} & Soit & P_{3} = (\begin{matrix} 0,25 & 0,75 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix})}^{3} = (\begin{matrix} 0,30475 & 0,69525 \end{matrix}) \end{matrix}$
En 2011, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l'étranger est de 30,475 %.
Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} e & l \end{matrix})$ vérifiant : $\begin{matrix} (\begin{matrix} e & l \end{matrix}) = (\begin{matrix} e & l \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} e & l \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,8 e + 0,1 l & 0,2 e + 0,9 l \end{matrix}) \end{matrix}$
D'où e et l vérifient la relation $e = 0,8 e + 0,1 l$ . Comme d'autre part, $e + l = 1$ on en déduit que a et b sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{matrix} e = 0,8 e + 0,1 l \\ e + l = 1 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 0,2 e - 0,1 l = 0 \\ e + l = 1 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 0,3 e = 0,1 \\ e + l = 1 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} e = \frac{1}{3} \\ l = \frac{2}{3} \end{matrix} \end{matrix}$
L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix})$ . Sur le long terme, un tiers des diplômés travailleront à l'étranger et les deux tiers de la promotion travailleront en France.

partie b

Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d'organiser un concert. Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée.
Les membres du groupe ont établi le graphe ci-contre.
Les sommets représentent les différents lycées et les arêtes, les rues reliant les établissements.
Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.

Existe-t-il un trajet d'un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule ?
Si oui, donner un tel trajet, si non expliquer pourquoi.
Il y a quatre sommets de degré impair : les sommets B, C, D et G donc il n'existe pas de chaîne eulérienne.
Il n'existe pas de trajet d'un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule.

Arrivé en retard au lycée A, un membre du groupe veut trouver le chemin le plus rapide pour rejoindre ses camarades au lycée G.
Quel trajet peut-il prendre ? Quelle est alors la durée du parcours ?

À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, on détermine le chemin le plus rapide.

A	B	C	D	E	F	G	Sommet sélectionné
0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
	16 (A)	∞	30 (A)	∞	∞	∞	B (16)
		∞	30 (A)	∞	56 (B)	∞	D (30)
		62( D)		59 (D)	56 (B)	90 (D)	F (56)
		62 (D)		59 (D)		84 (F)	E (59)
		62 (D)				84 (F)	C (62)
						84 (F)	G (84)

Le sommet G étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de G et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $G \leftarrow F \leftarrow B \leftarrow A$ .

Le trajet le plus rapide est A-B-F-G, ce trajet dure 84 minutes.

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