sujet : Pondichéry 2013

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

   • 55% des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi d'où $P\left(L\right)=\mathrm{0,55}$ et $P\left(\overline{L}\right)=1-\mathrm{0,55}=\mathrm{0,45}$
   • Parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire d'où $P_L\left(C\right)=\mathrm{0,95}$
   • Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire d'où $P_{\overline{L}}\left(C\right)=\mathrm{0,1}$

   D'où l'arbre pondéré décrivant la situation :

2. Calculer $P\left(L\cap C\right)$ la probabilité de l'évènement $L\cap C$.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(L\cap C\right)& =& P_L\left(C\right)\times P\left(L\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,95}\times \mathrm{0,55}\hfill \\ & =& \mathrm{0,5225}\hfill \end{array}$$

   $P\left(L\cap C\right)=\mathrm{0,5225}$

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3. Montrer que $P\left(C\right)=\mathrm{0,5675}$.

   Les évènements L et C sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(C\right)=P\left(L\cap C\right)+P\left(\overline{L}\cap C\right)$$

   Or : $$\begin{array}{ccc}P\left(\overline{L}\cap C\right)=P_{\overline{L}}\left(C\right)\times P\left(L\right)& \text{soit}& P\left(\overline{L}\cap C\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,45}=\mathrm{0,045}\end{array}$$

   D'où $$P\left(C\right)=\mathrm{0,5225}+\mathrm{0,045}=\mathrm{0,5675}$$

   $P\left(C\right)=\mathrm{0,5675}$.

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4. Calculer $P_C\left(L\right)$, la probabilité de l'évènement L sachant l'évènement C réalisé. En donner une valeur arrondie à 10^{− 4}.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_C\left(L\right)={\displaystyle \frac{P\left(L\cap C\right)}{P\left(C\right)}}& \text{Soit}& P_C\left(L\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5225}}{\mathrm{0,5675}}}\approx \mathrm{0,9207}\end{array}$$

   La probabilité de l'évènement L sachant l'évènement C réalisé est égale à 0,9207.

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5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.

   1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

      X suit une loi binomiale de paramètres 4 et 0,5675 soit $X\sim ℬ\left(4;\mathrm{0,5675}\right)$

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   2. Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. En donner une valeur arrondie à 10^{− 4}.

      X suit une loi binomiale de paramètres 4 et 0,5675 d'où $$P\left(X=0\right)={\left(1-\mathrm{0,5675}\right)}^4\approx \mathrm{0,035}$$

      La probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire est égale à 0,035.

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   3. Calculer la probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

      X suit une loi binomiale de paramètres 4 et 0,5675 d'où $$P\left(X=2\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\times {\mathrm{0,5675}}^2\times {\left(1-\mathrm{0,5675}\right)}^2\approx \mathrm{0,3615}$$

      La probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire est égale à 0,3615.

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