sujet : Pondichéry 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

partie a

On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $f\left(x\right)=1-\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

1. Montrer que $f\prime \left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-x}$ où $f\prime$ désigne la fonction dérivée de la fonction f.

   f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables et pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& 0-\left[1\times {\mathrm{e}}^{-x}+\left(x+1\right)\times \left(-1\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}\right]\hfill \\ & =& -\left({\mathrm{e}}^{-x}-x{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\hfill \\ & =& -{\mathrm{e}}^{-x}+x{\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& x{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $f\prime \left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-x}$.

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2. Démontrer que l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ admet une solution unique α sur l'intervalle $\left[0;6\right]$. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01.

   On ne sait pas résoudre algébriquement l'équation $$1-\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}=\mathrm{0,5}$$ À l'aide du théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$., montrons l'existence d'une solution unique α sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

   • f est dérivable donc continue sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

   • Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ alors sur l'intervalle $\left[0;6\right]$, $f\prime \left(x\right)>0$. Donc f est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

   • $f\left(0\right)=0$ et $f\left(6\right)=1-7{\mathrm{e}}^{-6}\approx \mathrm{0,98}$

   Sur l'intervalle $\left[0;6\right]$, la fonction f est continue, strictement croissante et $f\left(0\right)<\mathrm{0,5}<f\left(6\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ admet une solution unique α sur l'intervalle $\left[0;6\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{1,68}$

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3. On admet que la fonction F définie sur $\left[0;6\right]$ par $F\left(x\right)=x+\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de f sur $\left[0;6\right]$. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10^{− 3} de $I={\displaystyle {\int }_0^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(6\right)-F\left(0\right)\hfill \\ & =& 6+8{\mathrm{e}}^{-6}-2\hfill \\ & =& 4+8{\mathrm{e}}^{-6}\hfill \end{array}$$

   $I={\displaystyle {\int }_0^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=4+8{\mathrm{e}}^{-6}$. Soit $I\approx \mathrm{4,02}$.

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partie b

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction f définie dans la partie A pour x compris entre 0 et 6.
x représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.
$f\left(x\right)$ représente la production journalière de batteries en milliers.

1. Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités.

   D'après la question 2 de la partie A la solution de l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ est $\alpha \approx \mathrm{1,68}$ et, $\mathrm{1,68}\times 30\approx \mathrm{50,4}$.

   Comme la fonction f est croissante, on en déduit que la production atteindra 0,5 millier au cours du 51-ième jour.

   La production atteindra 500 unités au bout de 1,7 mois soit 51 jours.

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2. Déterminer une valeur arrondie à 10^{− 3} de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois.

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ est : $$m={\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\displaystyle {\int }_0^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{4+8{\mathrm{e}}^{-6}}{6}}\approx \mathrm{0,67}$$

   Sur les six premiers mois, la valeur moyenne de la production est 0,67 milliers soit 670 unités.

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partie c

Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.
Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance $\mu =200$ et d'écart-type $\sigma =40$.

1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ?

   Il n'est pas possible d'atteindre cette ville quand l'autonomie de la batterie est comprise entre 0 et 160 km : $$P\left(0⩽X<160\right)\approx \mathrm{0,16}$$

   La probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville est égale à 0,16.

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2. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse.

   $$P\left(X⩾320\right)=\mathrm{0,5}-P\left(200⩽X⩽320\right)$$ À la calculatrice, on trouve $\mathrm{0,5}-P\left(200⩽X⩽320\right)\approx \mathrm{0,0013}$

   La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est inférieure à 0,01.

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