sujet : Pondichéry 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Le 1^er janvier 2000, un client a placé 3000€ à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.
On note $C_n$ le capital du client au 1^er janvier de l'année $2000+n$, où n est un entier naturel.

1. Calculer $C_1$ et $C_2$. Arrondir les résultats au centime d'euro.

   Le coefficient multiplicateur associé au taux annuel de 2,5% est 1,025.$$\begin{array}{ccc}{C}_1=3000\times \mathrm{1,025}=3075& \text{et}& C_2=3075\times \mathrm{1,025}\approx \mathrm{3151,88}\end{array}$$

   Le montant en euros du capital au 1^er janvier 2001, est $C_1=3075$ et au 1^er janvier 2002 $C_2\approx \mathrm{3151,88}$

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2. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a la relation : ${\displaystyle C_n=3000\times {\mathrm{1,025}}^n}$.

   Pour tout nombre entier naturel n, $C_{n+1}=\mathrm{1,025}\times C_n$. La suite $\left(C_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,025 et de premier terme $C_0=3000$. Donc :

   pour tout nombre entier naturel n, ${\displaystyle C_n=3000\times {\mathrm{1,025}}^n}$.

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3. On donne l'algorithme suivant :

   Entrée	Saisir un nombre S supérieur à 3000
   Traitement	Affecter à n la valeur 0. {Initialisation}
   	Affecter à U la valeur 3000 {Initialisation}
   	Tant que $U⩽S$
   	n prend la valeur $n+1$ U prend la valeur $U\times \mathrm{1,025}$
   	Fin tant que
   Sortie	Afficher le nombre $2000+n$

   1. Pour la valeur $S=3300$ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.

      Valeur de n	0	1	2	3	4
      Valeur de U	3000	3075	3152	3231	3311
      Condition $U⩽S$	vrai	vrai	vrai	vrai	FAUX

   2. En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3300.

      Pour $n=4$, $U>3300$ donc l'affichage obtenu est 2004

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   3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3000.

      Cet algorithme permet de déterminer l'année à partir de laquelle le montant du capital sera supérieur à S.

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4. Au 1^er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000€. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.

   $${\displaystyle C_{13}=3000\times {\mathrm{1,025}}^{13}\approx \mathrm{4135,53}}$$

   Avec ce placement, la somme disponible au 1^er janvier 2013 était de 4135,53€.

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5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1^er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.

   On cherche le plus petit entier n tel que $C_n⩾3000\times 10$. Soit $$\begin{array}{llll}3000\times {\mathrm{1,025}}^n⩾\mathrm{30\; 000}& \iff & {\mathrm{1,025}}^n⩾10\hfill & \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,025}}^n\right)⩾\ln \left(10\right)\hfill & \text{La fonction logarithme est croissante}\hfill \\ & \iff & n\ln \mathrm{1,025}⩾\ln 10\hfill & \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\hfill \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln 10}{\ln \mathrm{1,025}}}\hfill & \end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln 10}{\ln \mathrm{1,025}}}\approx \mathrm{93,25}$ par conséquent, le plus petit entier n pour lequel $C_n⩾30000$ est 94.

   Le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10 en 2094.

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