Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichéry 2013

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

  1. La fonction F définie sur par Fx=e-x2 est une primitive de la fonction f définie par :

    A : fx=-xe-x2

    B : fx=-2xe-x2

    C : fx=xe-x2

    D : fx=e-2x

  2. Soit la fonction h définie sur par hx=7x-23ex. L'équation hx=0

    A : a pour solution 2,718

    B : a une solution sur 0+

    C : a deux solutions sur

    D : a une solution sur -0

  3. On pose I=013e3xdx. On peut affirmer que :

    A : I=e3-1

    B : I=3e3-3

    C : I=19,1

    D : I=1-e3.

  4. La fonction g définie sur par gx=x3-9x est convexe sur l'intervalle :

    A : -+

    B : 0+

    C : -0

    D : -33


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L'enquête révèle que 55% des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :

  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

  2. Calculer PLC la probabilité de l'évènement LC.

  3. Montrer que PC=0,5675.

  4. Calculer PCL, la probabilité de l'évènement L sachant l'évènement C réalisé. En donner une valeur arrondie à 10− 4.

  5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.

    1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

    2. Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. En donner une valeur arrondie à 10− 4.

    3. Calculer la probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

On considère le graphe Γ ci-dessous :

Graphe Γ : l'illustration flash n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

  1. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui donner une telle chaîne.

  2. Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? Justifier la réponse. Si oui donner un tel cycle.

  3. Donner la matrice M associée au graphe Γ. Les sommets seront pris dans l'ordre alphabétique : A, B, C, D, E, F, G.

partie b

Une région est munie d'un réseau de trains, représenté par le graphe Γ ci-dessous.

Les stations sont symbolisées par les sommets A, B, C, D, E, F et G. Chaque arête représente une ligne reliant deux gares. Les temps de parcours (correspondance comprise) en minutes entre chaque sommet ont été rajoutés sur le graphe.

Graphe pondéré : l'illustration flash n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer le plus court chemin en minutes, reliant la gare B à la gare G. Justifier la réponse grâce à un algorithme.

  2. Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ?


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000€ à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.
On note Cn le capital du client au 1er janvier de l'année 2000+n, où n est un entier naturel.

  1. Calculer C1 et C2. Arrondir les résultats au centime d'euro.

  2. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a la relation : Cn=3000×1,025n.

  3. On donne l'algorithme suivant :

    Entrée Saisir un nombre S supérieur à 3000
    Traitement Affecter à n la valeur 0. {Initialisation}
    Affecter à U la valeur 3000 {Initialisation}
    Tant que US

    n prend la valeur n+1
    U prend la valeur U×1,025

    Fin tant que
    Sortie Afficher le nombre 2000+n
    1. Pour la valeur S=3300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.

      Valeur de n 0 1 ......
      Valeur de U 3000 ......
      Condition US vrai ......
    2. En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3300.

    3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3000.

  4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000€. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.

  5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

partie a

On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle 06 par fx=1-x+1e-x.

  1. Montrer que fx=xe-xf désigne la fonction dérivée de la fonction f.

  2. Démontrer que l'équation fx=0,5 admet une solution unique α sur l'intervalle 06. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01.

  3. On admet que la fonction F définie sur 06 par Fx=x+x+2e-x est une primitive de f sur 06. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10− 3 de I=06fxdx.

partie b

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.
Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction f définie dans la partie A pour x compris entre 0 et 6.
x représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.
fx représente la production journalière de batteries en milliers.

  1. Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités.

  2. Déterminer une valeur arrondie à 10− 3 de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois.

partie c

Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.
Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance μ=200 et d'écart-type σ =40.

  1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ?

  2. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse.




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