Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane septembre 2016

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une association confectionne et porte, chaque jour, à domicile des repas à des personnes dépendantes.
En 2015, 600 personnes étaient abonnées à ce service.

Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l'évolution peut être modélisée de la façon suivante :

Chaque année, 5 % des abonnements ne sont pas renouvelés.
Chaque année, on compte 80 nouveaux abonnements à ce service.

Pour suivre l'évolution du nombre d'abonnés, un gestionnaire réalise l'algorithme suivant :

variables :

n et U sont des nombres

Traitement :

Affecter à U la valeur 600
Affecter à n la valeur 0
Tant que $U < 800$ faire

U prend la valeur $U - U \times 0,05 + 80$
n prend la valeur $n + 1$

Fin Tant que

sortie :

Afficher n

Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l'unité).
valeur de U 600 650 698 743 785 826
valeur de n 0 1 2 3 4 5
test $U < 800$ vrai vrai vrai vrai vrai FAUX
Déterminer la valeur affichée en fin d'exécution de l'algorithme.
La valeur affichée en fin d'exécution est 5.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
C'est en en 2020 que le nombre d'abonnés va dépasser 800.

Cette évolution peut s'étudier à l'aide d'une suite $(u_{n})$ où $u_{n}$ est le nombre d'abonnés pendant l'année $2015 + n$ .
On a ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,95 \times u_{n} + 80$ et $u_{0} = 600$ .
1. Donner $u_{1}$ et $u_{2}$ (arrondir les valeurs à l'unité).
  D'après les valeurs calculées dans le tableau précédent, on a $u_{1} = 650$ et $u_{2} \approx 698$
2. On introduit la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 1600$ . Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique.
  Préciser la raison et le premier terme de cette suite.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{rcl} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 1600 \\ = & 0,95 u_{n} + 80 - 1600 \\ = & 0,95 u_{n} - 1520 \\ = & 0,95 \times (u_{n} - 1600) \\ = & 0,95 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,95 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont le premier terme $v_{0} = 600 - 1600 = - 1000$ .
3. En déduire que l'on a, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 1600 - 1000 \times {0,95}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_{0} = - 1000$ donc pour tout entier naturel n, on a $v_{n} = - 1000 \times {0,95}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 1600 \Leftrightarrow u_{n} = 1600 + v_{n}$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $u_{n} = 1600 - 1000 \times {0,95}^{n}$ .
La taille des locaux ne permet pas de servir plus de 1000 repas.
Si cette évolution se poursuit au même rythme, l'association devra-t-elle envisager un jour des travaux d'agrandissement ?
On cherche à déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcll} u_{n} > 1000 & \Leftrightarrow & 1600 - 1000 \times {0,95}^{n} > 1000 \\ \Leftrightarrow & - 1000 \times {0,95}^{n} > - 600 \\ \Leftrightarrow & {0,95}^{n} < 0,6 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,95}^{n}) < \ln 0,6 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,95 < \ln 0,6 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,6}{\ln 0,95} & \ln 0,95 < 0 \end{array}$
Comme $\frac{\ln 0,6}{\ln 0,95} \approx 9,96$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} > 1000$ est $n = 10$ .
L'association devra envisager des travaux d'agrandissement en 2025.

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indifférent :

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valeur de U	600	650	698	743	785	826
valeur de n	0	1	2	3	4	5
test $U < 800$	vrai	vrai	vrai	vrai	vrai	FAUX