sujet : Antilles Guyane septembre 2016

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

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1. On considère la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^x$ ; la fonction f est :

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

   • La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$

     Soit pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x$

   • On a pour tout réel x, $$f″\left(x\right)={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^x$$

   Comme pour tout réel x, on a ${\mathrm{e}}^x>0$, nous pouvons en déduire le signe de la dérivée seconde :

   x	$-\infty$		$-2$		$+\infty$
   $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   La fonction f est concave sur $\left]-\infty ;-2\right]$ et convexe sur $\left[-2;+\infty \right[$.

   a. concave sur $\left]-\infty ;0\right]$

   b. convexe sur $\left]-\infty ;0\right]$

   c. concave sur $\left[0;+\infty \right[$

   d. convexe sur $\left[0;+\infty \right[$

2. On considère l'équation d'inconnue x : $\left(3x+1\right){\mathrm{e}}^{5x}=0$. Cette équation admet sur $ℝ$ :

   Sur $ℝ$ :$$\begin{array}{rcl}\left(3x+1\right){\mathrm{e}}^{5x}=0& \iff & 3x+1=0\\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

   a. 0 solution

   b. 1 solution

   c. 2 solutions

   d. plus de 3 solutions

3. On a constaté que, sur 10 ans, le prix d'une certaine denrée a augmenté de 8 % par an. On peut affirmer que, sur 10 ans, le prix de cette denrée a augmenté, à l'unité près, de :

   Le coefficient multiplicateur associé à 10 augmentations successives de 8 % est :$${\left(1+{\displaystyle \frac{8}{100}}\right)}^{10}={\mathrm{1,08}}^{10}\approx \mathrm{2,16}$$ Ce qui correspond à une augmentation de 116 %.

   a. 80 %

   b. 116 %

   c. 216 %

   d. 43 %

4. La courbe $C_g$ ci-dessous représente une fonction g définie et dérivable sur $\left[0;3\right]$. On note $g\prime$ sa fonction dérivée ; on a :

   Le nombre dérivé $g\prime \left(2\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_g$ au point A d'abscisse 1. Après avoir tracé cette tangente, $g\prime \left(2\right)=-1$ est la seule réponse susceptible de convenir.

   a. $g\prime \left(2\right)=-1$

   b. $g\prime \left(2\right)=-5$

   c. $g\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{4}{3}}$

   d. $g\prime \left(2\right)=2$

5. Soit la fonction h définie sur $ℝ$ par $h\left(x\right)={\mathrm{e}}^{3x+2}$. Une primitive H de h peut être définie sur $ℝ$ par :

   Pour tout réel x, $h\left(x\right)={\mathrm{e}}^{3x+2}={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \left(3\times {\mathrm{e}}^{3x+2}\right)$.

   Ainsi, une primitive de la fonction h est la fonction H définie sur $ℝ$ par $H\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}{\mathrm{e}}^{3x+2}$.

   a. $H\left(x\right)=3{\mathrm{e}}^{3x+2}$

   b. $H\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}{\mathrm{e}}^{3x+2}$

   c. $H\left(x\right)=\left(3x+2\right){\mathrm{e}}^{3x+2}$

   d. $H\left(x\right)={\mathrm{e}}^{3x+2}$

6. Pour la loi normale représentée ci-dessous on a $P\left(9<X<12\right)\approx \mathrm{0,82}$ (à ${10}^{-2}$ près).
   Les paramètres de la loi X sont :

   D'après la symétrie de la courbe, $\mu =10$. Avec la calculatrice, on vérifie que si $\sigma =1$ alors $P\left(9<X<12\right)\approx \mathrm{0,82}$.

   a. $\mu =10$ et $\sigma =2$

   b. $\mu =11$ et $\sigma =2$

   c. $\mu =10$ et $\sigma =1$

   d. $\mu =11$ et $\sigma =3$

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