Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Liban 2016

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a

Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60 % de collégiens et 40 % de lycéens.
Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a montré que 80 % des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70 % en possèdent un.

On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s'intéresse aux évènements suivants :

C : « le jeune choisi est un collégien » ;
L : « le jeune choisi est un lycéen » ;
T : « le jeune choisi possède un téléphone portable ».

Rappel des notations
Si A et B sont deux évènements, $p (A)$ désigne la probabilité que l'évènement A se réalise et $p_{B} (A)$ désigne la probabilité de A sachant que l'évènement B est réalisé. On note aussi $\bar{A}$ l'évènement contraire de A.

Donner les probabilités : $p (C)$ , $p (L)$ , $p (T)$ , $p_{C} (T)$ .
- Le centre de loisirs compte 60 % de collégiens et 40 % de lycéens d'où $p (C) = 0,6$ et $p (L) = 0,4$ .
- L'étude a montré que 80 % des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70 % en possèdent un d'où $p (T) = 0,8$ et $p_{C} (T) = 0,7$ .
Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l'énoncé.
Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable.
$\begin{matrix} p (C \cap T) = p_{C} (T) \times p (C) & soit & p (C \cap T) = 0,7 \times 0,6 = 0,42 \end{matrix}$
La probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable est égale à 0,42.
Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone portable.
$\begin{array}{rcl} p_{T} (C) & = & \frac{p (C \cap T)}{p (T)} \\ = & \frac{0,42}{0,8} \\ = & 0,525 \end{array}$
La probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone portable est égale à 0,525.
1. Calculer $p (T \cap L)$ , en déduire $p_{L} (T)$ .
  D'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $\begin{array}{rcl} p (T) = p (C \cap T) + p (L \cap T) & \Leftrightarrow & p (L \cap T) = p (T) - p (C \cap T) \\ soit & p (L \cap T) = 0,8 - 0,42 = 0,38 \end{array}$
  La probabilité que le jeune choisi soit un lycéen possédant un téléphone portable est égale à 0,38.
  $\begin{array}{rcl} p_{L} (T) & = & \frac{p (L \cap T)}{p (L)} \\ = & \frac{0,38}{0,4} = 0,95 \end{array}$
  95 % des lycéens possèdent un téléphone portable.
2. Compléter l'arbre construit dans la question 2.

partie b

En 2012 en France, selon une étude publiée par l'Arcep (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 83 SMS (messages textes) par jour, soit environ 2500 par mois. On admet qu'en France le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance $μ = 2500$ et d'écart-type $σ = 650$ .
Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités arrondies au millième.

Calculer la probabilité qu'un adolescent envoie entre 2000 et 3000 SMS par mois.
À l'aide de la calculatrice, on trouve $p (2000 ⩽ X ⩽ 3000) \approx 0,558$ .
La probabilité qu'un adolescent envoie entre 2000 et 3000 SMS par mois est, arrondie au millième prés, 0,558.
Calculer $p (X ⩾ 4000)$ .
La calculatrice permet de déterminer la probabilité $p (a ⩽ X ⩽ b)$ quand X suit la loi normale : $\begin{array}{rcl} p (X ⩾ 4000) & = & p (X ⩾ 2500) - p (2500 ⩽ X ⩽ 4000) \\ = & 0,5 - p (2500 ⩽ X ⩽ 4000) \\ \approx & 0,011 \end{array}$
La probabilité, arrondie au millième près, qu'un adolescent envoie plus de 4000 SMS par mois est 0,011.
Sachant que $p (X ⩽ a) = 0,8$ , déterminer la valeur de a. On arrondira le résultat à l'unité.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
À l'aide de la calculatrice, on trouve $p (X ⩽ a) = 0,8$ pour $a \approx 3047$ .
80 % des adolescents envoient moins de 3047 SMS par mois.

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