sujet : Liban 2016

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[3;13\right]$ par : $f\left(x\right)=-2x+20-{\mathrm{e}}^{-2x+10}$.

partie a : Étude de la fonction f

1. Montrer que la fonction dérivée $f\prime$, de la fonction f, définie pour tout x de l'intervalle $\left[3;13\right]$, a pour expression : $f\prime \left(x\right)=2\left(-1+{\mathrm{e}}^{-2x+10}\right)$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[3;13\right]$ : $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& -2-\left(-2{\mathrm{e}}^{-2x+10}\right)\\ & =& -2+2{\mathrm{e}}^{-2x+10}\\ & =& 2\times \left(-1+{\mathrm{e}}^{-2x+10}\right)\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[3;13\right]$ par : $f\prime \left(x\right)=2\left(-1+{\mathrm{e}}^{-2x+10}\right)$.

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2. 1. Résoudre dans l'intervalle $\left[3;13\right]$ l'inéquation : $f\prime \left(x\right)⩾0$.

      Résoudre l'inéquation : $f\prime \left(x\right)⩾0$ équivaut à chercher les solutions de l'inéquation $2\left(-1+{\mathrm{e}}^{-2x+10}\right)⩾0$ qui appartiennent à l'intervalle $\left[3;13\right]$.

      Or pour tout réel x : $$\begin{array}{rcl}2\left(-1+{\mathrm{e}}^{-2x+10}\right)⩾0& \iff & -1+{\mathrm{e}}^{-2x+10}⩾0\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-2x+10}⩾1\\ & \iff & -2x+10⩾0\\ & \iff & -2x⩾-10\\ & \iff & x⩽5\end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\prime \left(x\right)⩾0$ est l'intervalle $\left[3;5\right]$.

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   2. En déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[3;13\right]$ et dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à ${10}^{-3}$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x	3		5		5
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$f\left(3\right)\approx -\mathrm{40,598}$		9		$f\left(13\right)\approx -6$

3. Calculer l'intégrale ${\displaystyle {\int }_3^{13}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

   Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left[3;13\right]$ par : $$F\left(x\right)=-x^2+20x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{e}}^{-2x+10}$$

   D'où $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_3^{13}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(13\right)-F\left(3\right)\\ & =& \left(-169+260+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-16}}{2}}\right)-\left(-9+60+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^4}{2}}\right)\\ & =& 40+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-16}-{\mathrm{e}}^4}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, ${\displaystyle {\int }_3^{13}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=40+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-16}-{\mathrm{e}}^4}{2}}\approx \mathrm{12,701}$.

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partie b : Application

Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et 1300. On suppose que toute la production est commercialisée.
Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de x centaines de toboggans est modélisé sur l'intervalle $\left[3;13\right]$ par la fonction f.
En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

1. Déterminer le nombre de toboggans que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l'euro.

   Le bénéfive maximal est de 9000 euros obtenu pour la commercialisation de 500 toboggans.

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2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1300 toboggans. Arrondir le résultat à l'euro.

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[3;13\right]$ est égale à $${\displaystyle \frac{1}{13-3}}\times {\displaystyle {\int }_3^{13}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\approx {\displaystyle \frac{\mathrm{12,701}}{10}}$$

   Le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1300 toboggans est de 1270 euros.

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partie c : Rentabilité

Pour être rentable, l'usine doit avoir un bénéfice positif.
Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l'usine doit fabriquer en un mois pour qu'elle soit rentable. Justifier la réponse.

La fonction f est dérivable donc continue. Sur chacun des intervalles où la fonction est monotone, par application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique. À l'aide de la calculatrice, déterminons une valeur approchée de cchacune des solutions :

• Sur l'intervalle $\left[3;5\right]$ la solution de l'équation $f\left(x\right)=0$ est ${\alpha }_1\approx \mathrm{3,736}$

• Sur l'intervalle $\left[5;13\right]$ la solution de l'équation $f\left(x\right)=0$ est ${\alpha }_2\approx \mathrm{9,999}$

D'après les variations de la fonction f :

Pour qu'elle soit rentable, la production de l'usine doit être comprise entre 374 et 999 toboggans.

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