L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.
Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir.
En 2015, l'entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.
On modélise la situation par une suite où représente le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise PiscinePlus l'année 2015 + n. Ainsi, on a .
Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2016.
En 2016, l'entreprise PiscinePlus devrait avoir 78 contrats souscrits.
Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : .
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 12 % de contrats supplémentaires souscrits est égal à 1,12 et, comme 6 contrats résiliés :
pour tout entier naturel n, on a : .
L'entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de 100 contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.
On cherche à connaître en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l'algorithme suivant :
Recopier et compléter la ligne L9.
L1 | Variables : | n est un nombre entier naturel |
L2 | U est un nombre réel | |
L3 | Traitement : | Affecter à n la valeur 0 |
L4 | Affecter à U la valeur 75 | |
L5 | Tant que faire | |
L6 | n prend la valeur | |
L7 | U prend la valeur | |
L8 | Fin Tant que | |
L9 | Sortie : | Afficher |
La ligne L9 peut être complétée au choix par « Afficher » ou « Afficher n »
Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l'unité.
Valeur de n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Valeur de U | 75 | 78 | 81 | 85 | 89 | 94 | 99 | 105 |
Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
Selon le choix de l'affichage en sortie de l'algorithme on obtient : 2022 ou 7.
C'est en 2022 que l'entreprise PiscinePlus devra embaucher davantage de personnel.
On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a et . On pose pour tout entier naturel n : .
Montrer que la suite est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
Pour tout entier n,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc est une suite géométrique de raison 1,12 dont le premier terme .
En déduire l'expression de en fonction de n puis montrer que, pour tout entier naturel n, on a .
est une suite géométrique de raison 1,12 et de premier terme donc pour tout entier naturel n, .
Comme pour tout entier naturel n, on en déduit que :
pour tout entier naturel n, on a .
Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation .
Comme alors :
le plus petit entier n solution de l'inéquation est .
Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ?
C'est dans 7 ans que que l'entreprise PiscinePlus devra embaucher davantage de personnel.
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