Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Liban 2016

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.
Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir.
En 2015, l'entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.
On modélise la situation par une suite (un)un représente le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise PiscinePlus l'année 2015 + n. Ainsi, on a u0=75.

    1. Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2016.

      u1=75×(1+12100)-6=78

      En 2016, l'entreprise PiscinePlus devrait avoir 78 contrats souscrits.


    2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1=1,12un-6.

      Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 12 % de contrats supplémentaires souscrits est égal à 1,12 et, comme 6 contrats résiliés :

      pour tout entier naturel n, on a : un+1=1,12un-6.


  1. L'entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de 100 contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.
    On cherche à connaître en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l'algorithme suivant :

    1. Recopier et compléter la ligne L9.

      L1Variables : n est un nombre entier naturel
      L2U est un nombre réel
      L3Traitement :Affecter à n la valeur 0
      L4Affecter à U la valeur 75
      L5Tant que U100 faire
      L6n prend la valeur n+1
      L7U prend la valeur 1,12U-6 
      L8Fin Tant que
      L9Sortie :Afficher 2015+n

      La ligne L9 peut être complétée au choix par « Afficher 2015+n » ou « Afficher n »


    2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l'unité.

      Valeur de n

      01234567

      Valeur de U

      75788185899499105
    3. Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.

      Selon le choix de l'affichage en sortie de l'algorithme on obtient : 2022 ou 7.
      C'est en 2022 que l'entreprise PiscinePlus devra embaucher davantage de personnel.


  2. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a un+1=1,12un-6 et u0=75. On pose pour tout entier naturel n : vn=un-50.

    1. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-50=1,12un-6-50=1,12un-56=1,12×(un-50)=1,12vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=1,12vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 1,12 dont le premier terme v0=75-50=25.


    2. En déduire l'expression de vn en fonction de n puis montrer que, pour tout entier naturel n, on a un=25×1,12n+50.

      (vn) est une suite géométrique de raison 1,12 et de premier terme v0=25 donc pour tout entier naturel n, vn=25×1,12n.

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-50un=vn+50 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, on a un=25×1,12n+50.


    3. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation un>100.

      un>10025×1,12n+50>10025×1,12n>501,12n>2ln(1,12n)>ln2 La fonction  ln est strictement croissanten×ln1,12>ln2Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln2ln1,12

      Comme ln2ln1,126,1 alors :

      le plus petit entier n solution de l'inéquation un>100 est n=7.


    4. Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ?

      C'est dans 7 ans que que l'entreprise PiscinePlus devra embaucher davantage de personnel.



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