sujet : Nouvelle Calédonie mars 2019

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte0,75point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Aucune justification n'est demandée.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

1. Soit f la fonction continue et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ définie par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}$.
   La valeur exacte de $f\prime \left(\mathrm{e}\right)$ est :

   La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
   $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=\ln \left(x\right)& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\times x-\ln \left(x\right)\times 1}{x^2}}={\displaystyle \frac{1-\ln \left(x\right)}{x^2}}$$

   On en déduit donc $$f\prime \left(\mathrm{e}\right)={\displaystyle \frac{1-\ln \left(\mathrm{e}\right)}{{\mathrm{e}}^2}}=0$$

   a. 0

   b. ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

   c. 1

   d. ${\mathrm{e}}^2$

2. Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de 80 %.
   Quel est le taux annuel d'augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à 0,01 % ?

   Soit t % le pourcentage d'évolution annuel moyen du prix hors taxe du gaz pendant huit ans. On a :

   $$\begin{array}{rcl}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^8=1+{\displaystyle \frac{80}{100}}& \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}={\mathrm{1,8}}^{\frac{1}{8}}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\mathrm{1,8}}^{\mathrm{0,125}}-1\\ & \text{soit}& {\displaystyle \frac{t}{100}}\approx \mathrm{0,0762}\end{array}$$

   a. 10 %

   b. 7,62 %

   c. 6,75 %

   d. 8,76 %

3. Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=\mathrm{1,05}$ et de premier terme $u_1=3$.
   La valeur exacte de $S=u_1+u_2+\cdots +u_{49}$ est égale à :

   La somme S de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\ne 1$ est : $$S=\text{premier terme}\times {\displaystyle \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}}$$

   On en déduit que $$S=u_1+u_2+\cdots +u_{49}=3\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,05}}^{49}}{1-\mathrm{1,05}}}$$

   a. $S={\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,05}}^{49}}{1-\mathrm{1,05}}}$

   b. $S=3\times {\displaystyle \frac{1+{\mathrm{1,05}}^{49}}{1+\mathrm{1,05}}}$

   c. $S=\mathrm{595,280}$

   d. $S=3\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,05}}^{49}}{1-\mathrm{1,05}}}$

4. Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d'attente d'un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0;12\right]$.
   Quelle est la probabilité que le temps d'attente d'un client soit compris entre 2 et 5 minutes ?

   Le temps d'attente d'un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ d'où :$$P\left(2⩽X⩽5\right)={\displaystyle \frac{5-2}{12-0}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$

   a. ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

   b. ${\displaystyle \frac{7}{12}}$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   d. ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

partie b

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.
Une réponse exacte justifiée rapporte1point, une réponse fausse, non justifiée ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

1. Lors d'une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu'il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion des intentions de vote en sa faveur.

   Affirmation 1 : Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à 0,02, l'institut de sondage doit interroger au minimum 10 000 personnes.

   Soit f la fréquence observée d'un caractère dans un échantillon de taille n.
   L'intervalle $\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ est un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion inconnue p dans la population.
   La précision de l'intervalle de confiance est donnée par son amplitude ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}$.

   Pour tout entier naturel n :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}⩽\mathrm{0,02}& \iff & {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}⩽\mathrm{0,01}\\ & \iff & \sqrt{n}⩾{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,01}}}\\ & \iff & n⩾10000\end{array}$$

   L'affirmation 1 est vraie.

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2. On considère une variable aléatoire X suivant une loi normale de moyenne 6.
   On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité f associée à la variable aléatoire X.
   La partie grisée vaut 0,95 unité d'aire.

   Affirmation 2 : L'écart type de X est égal à 6.

   Si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ alors $P\left(\mu -2\sigma ⩽X⩽\mu +2\sigma \right)\approx \mathrm{0,95}$

   D'après le graphique, $P\left(0⩽X⩽12\right)\approx \mathrm{0,95}$. Comme $\mu =6$, on en déduit que $6-2\sigma =0$ et $6+2\sigma =12$. Soit $\sigma =3$.

   L'affirmation 2 est fausse.

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