Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Asie 2018

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

  1. Pour la recherche d'un emploi, une personne envoie sa candidature à 25 entreprises. La probabilité qu'une entreprise lui réponde est de 0,2 et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins 5 réponses ?

    a. 0,20

    b. 0,62

    c. 0,38

    d. 0,58

  2. Pour tout événement E on note PE sa probabilité. X est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance 30 et d'écart type σ. Alors :

    a. PX=30=0,5

    b. PX<40<0,5

    c. PX<20=PX>40

    d. PX<20>PX<30

  3. En France, les ventes de tablettes numériques sont passées de 6,2 millions d'unités en 2014 à 4,3 millions d'unités en 2016. Les ventes ont diminué, entre 2014 et 2016, d'environ :

    a. 65 %

    b. 31 %

    c. 20 %

    d. 17 %

Pour les questions 4 et 5, on donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction f définie sur .

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Soit f la dérivée de f et F une primitive de f sur .

    a. f est positive sur 24.

    b. f est négative sur -3-1.

    c. F est décroissante sur 24.

    d. F est décroissante sur -3-1.

  2. Une des courbes ci-dessous représente la fonction f. Laquelle ?

    a.

    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    b.

    Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    c.

    Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    d.

    Courbe 4 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 2 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Un navigateur s'entraîne régulièrement dans le but de battre le record du monde de traversée de l'Atlantique à la voile.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.

Pour tous évènements A et B, on note A¯ l'évènement contraire de A, PA la probabilité de A et si B est de probabilité non nulle, PBA la probabilité de A sachant B.

partie a

Le navigateur décide de modéliser la durée de sa traversée en jour par une loi normale de paramètres μ=7 et σ=1.

  1. Quelle est la probabilité que le navigateur termine sa course entre 5 et 8 jours après le départ ?

  2. Dans sa catégorie de voilier, le record du monde actuel est de 5 jours.
    Quelle est la probabilité que le navigateur batte le record du monde ?

partie b

Une entreprise nommée « Régate », s'intéresse aux résultats de ce navigateur.
La probabilité qu'il réalise la traversée en moins de 6 jours est de 0,16.
Si le navigateur réalise la traversée en moins de 6 jours, l'entreprise le sponsorise avec une probabilité de 0,95.
Sinon, l'entreprise hésite et le sponsorise avec une probabilité de 0,50.

On note :

  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

  2. Montrer que la probabilité que l'entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la prochaine course est 0,428.

  3. L'entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.
    Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins de 6 jours.

partie c

L'entreprise « Régate » sponsorise plusieurs catégories de sportifs dans le monde nautique.
Ces derniers doivent afficher le slogan « Avec Régate. j'ai 97 % de chance d'être sur le podium ! ».

L'étude des résultats sportifs de l'année a révélé que, parmi 280 sportifs de chez « Régate », 263 sont montés sur le podium. Que penser du slogan ?


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un pays compte 300 loups en 2017. On estime que la population des loups croit naturellement au rythme de 12 % par an. Pour réguler la population des loups, le gouvernement autorise les chasseurs à tuer un quota de 18 loups par an.

On modélise la population par une suite un le terme un représentant le nombre de loups de ce pays en 2017+n.

    1. Avec ce modèle. vérifier que le nombre de loups de ce pays en 2018 sera de 318.

    2. Justifier que, pour tout entier n, un+1=1,12un-18.

  1. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il détermine au bout de combien d'années la population de loups aura doublé.

    N0
    U300

    Tant que ............. faire
    U
    N
    Fin Tant que

  2. On définit la suite vn par : vn=un-150 pour tout n.

    1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique de raison 1,12.
      Préciser son terme initial.

    2. Exprimer, pour tout n, vn en fonction de n.
      En déduire un en fonction de n.

    3. Quelle est la limite de la suite un ? Justifier. Que peut-on en déduire ?

    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation : 150+1,12n×150>600

    2. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'énoncé.

  3. En 2023. avec ce modèle, la population de loups est estimée à 446 loups et le rythme de croissance annuel de la population reste identique. Dans ce cas, une nouvelle décision sera prise par le gouvernement: afin de gérer le nombre de loups dans le pays, il autorisera les chasseurs à tuer un quota de 35 loups par an.
    En quelle année la population de loups dépassera-t-elle 600 loups ?

    Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.


exercice 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour la nouvelle année, Lisa prend la bonne résolution d'aller au travail tous les matins à vélo.
Le premier jour, très motivée, Lisa se rend au travail à vélo. Par la suite, elle se rend toujours au travail à vélo ou en voiture.

Elle se rend compte que :

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets A et B où :

On note, pour tout entier naturel n non nul :

    1. Traduire les données par un graphe probabiliste.

    2. En déduire la matrice de transition M.

    1. Donner les valeurs de a1 et b1 correspondant à l'état initial.

    2. Calculer la probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le 8e jour.

  1. Déterminer l'état stable du graphe puis interpréter le résultat obtenu.

    1. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n non nul : an+1=0,7an+0,5bn.

    2. En déduire que pour tout entier naturel non nul n : an+1=0,2an+0,5.

    1. Recopier et compléter l'algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier n tel que an<0,626.

      N1
      A1

      Tant que ............. faire
      A
      N
      Fin Tant que

    2. Quelle est la valeur de N après exécution de l'algorithme ? Interpréter ce résultat.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative 𝒞f d'une fonction f définie sur 025 par : fx=ax+be-0,2xa et b sont deux nombres réels.

On a représenté également sa tangente T au point A07. T passe par le point B214,2.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Résoudre graphiquement l'équation fx=6.

    1. Déterminer, par un calcul, le coefficient directeur de la droite T.

    2. Exprimer, pour tout x025, fx en fonction de a et b.

    3. Montrer que a et b sont solutions du système {a-0,2b=3,6b=7.
      En déduire la valeur de a.

partie b

  1. Étudier les variations de la fonction f définie sur 025 par fx=5x+7e-0,2x. Justifier.

  2. Montrer que l'équation fx=6 admet une unique solution α sur l'intervalle 025.
    Donner une valeur approchée au dixième de α.

  3. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant.

    Dériver (-25x-160e-0,2x)
    5x+7e-0,2x

    Exploiter ce résultat pour donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de 025fxdx.

partie c

Un organisme de vacances souhaite ouvrir un nouveau centre avec une piscine bordée de sable. Il dispose d'un espace rectangulaire de 25 mètres de longueur sur 14 mètres de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l'espace comme indiqué sur le schéma ci-dessous.La bordure est modélisée par la fonction f étudiée dans la partie précédente.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Quelle est l'aire en m2 de la zone hachurée représentant la piscine ?

  2. L'organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de 25 mètres de longueur et de même superficie.
    Quelle en sera la largeur arrondie au dixième de mètre ?



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