Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichéry 2018

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 0,55 par :fx=5+5lnxxSa représentation graphique est la courbe 𝒞 donnée ci-dessous dans un repère d'origine O. On admet que le point A placé sur le graphique est le seul point d'inflexion de la courbe 𝒞 sur l'intervalle 0,55. On note B le point de cette courbe d'abscisse e.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur cet intervalle.
On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f et f sa fonction dérivée seconde.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On admet que pour tout x de l'intervalle 0,55 on a :fx=-5lnxx2etfx=10lnx-5x3

  1. La fonction f est :

    1. positive ou nulle sur l'intervalle 0,55 ;

    2. négative ou nulle sur l'intervalle 15 ;

    3. négative ou nulle sur l'intervalle 0,51.

  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝒞 au point B est égal à :

    a.   -5e2

    b.   10e

    c.   5e3

  3. La fonction f est :

    1. croissante sur l'intervalle 0,51 ;

    2. décroissante sur l'intervalle 15 ;

    3. croissante sur l'intervalle 25.

  4. La valeur exacte de l'abscisse du point A de la courbe 𝒞 est égale à :

    a.   1,65

    b.   1,6

    c.   e0,5

  5. On note 𝒜 l'aire, mesurée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=4. Cette aire vérifie :

    a.   20𝒜30

    b.   10𝒜15

    c.   5𝒜8


exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à 0,01 près.

partie a

Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à 30 €) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).
Il remarque que :

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
On considère les évènements suivants :

    1. Donner la probabilité de l'évènement V, notée PV, ainsi que la probabilité de S sachant V notée PVS.

    2. Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

    1. Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à 30 € et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.

    2. Montrer que la probabilité de l'évènement : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l'un des deux modes » est égale à 0,62.

partie b

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la dépense en euros d'un client suite à un achat chez ce commerçant.
On admet que X suit la loi normale de moyenne 27,5 et d'écart-type 3.
On interroge au hasard un client qui vient d'effectuer un achat dans la boutique.

  1. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé moins de 30 €.

  2. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé entre 24,5 € et 30,5 €.

partie c

Une enquête de satisfaction a été réalisée auprès d'un échantillon de 200 clients de cette boutique. Parmi eux, 175 trouvent que le dispositif sans contact du terminal est pratique.

Déterminer, avec un niveau de confiance de 0,95, l'intervalle de confiance de la proportion p de clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique.


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite un définie par u0=65 et pour tout entier naturel n :un+1=0,8un+18

  1. Calculer u1 et u2.

  2. Pour tout entier naturel n, on pose : vn=un-90.

    1. Démontrer que la suite vn est géométrique de raison 0,8.
      On précisera la valeur de v0.

    2. Démontrer que, pour tout entier naturel n : un=90-25×0,8n.

  3. On considère l'algorithme ci-dessous :

    ligne 1u65
    ligne 2n0
    ligne 3Tant que .........
    ligne 4nn+1
    ligne 5u0,8×u+18
    ligne 6Fin Tant que
    1. Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu'il détermine le plus petit entier naturel n tel que un85.

    2. Quelle est la valeur de la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

    3. Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l'inéquation un85.

  4. La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d'un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l'agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de 52 € par mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio.
    En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit cet abonnement.

    Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :

    • d'un mois à l'autre, environ 20 % des abonnements sont résiliés ;
    • chaque mois, 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l'abonnement.
    1. Justifier que la suite un permet de modéliser le nombre d'abonnés au panier bio le n-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.

    2. Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser 4420 € durant l'année 2018 ? Justifier la réponse.

    3. Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette ?
      Argumenter la réponse.


exercice 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie a

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents lieux A, B, C, D, E, F, G et H dans lesquels Louis est susceptible de se rendre chaque jour. Le lieu A désigne son domicile et G le lieu de son site de travail.
Le poids de chaque arête représente la distance, en kilomètres, entre les deux lieux reliés par l'arête.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Déterminer le chemin le plus court qui permet à Louis de relier son domicile à son travail. On pourra utiliser un algorithme. Préciser la distance, en kilomètres, de ce chemin.

partie b

Afin de réduire son empreinte énergétique, Louis décide d'utiliser lors de ses trajets quotidiens soit les transports en commun, soit le covoiturage.

Louis décide de mettre en place ces résolutions au 1er janvier 2018.

Pour tout entier naturel n, on note :

La matrice ligne Pn=cntn traduit l'état probabiliste n jour(s) après le 1er janvier 2018.

Le 1er janvier 2018, Louis décide d'utiliser le covoiturage.

    1. Préciser l'état probabiliste initial P0.

    2. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.

      On notera « C » et « T » ses deux sommets :

      • « C » pour indiquer que Louis utilise le covoiturage ;
      • « T » pour indiquer que Louis utilise les transports en commun.
  1. Déterminer la matrice de transition du graphe probabiliste en considérant ses sommets dans l'ordre alphabétique.

  2. Calculer l'état probabiliste P2 et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

  3. Soit la matrice ligne P=xy associée à l'état stable du graphe probabiliste.

    1. Calculer les valeurs exactes de x et de y puis en donner une valeur approchée à 0,01 près.

    2. Selon ce modèle, peut-on dire qu'à long terme, Louis utilisera aussi souvent le covoiturage que les transports en commun ? Justifier la réponse.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à 0,01 près.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 04 par : fx=3,6x+2,4e-0,6x-1,4

partie a

On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle 04 et on note f sa fonction dérivée.

  1. Justifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle 04 on a :fx=-2,16x+2,16e-0,6x

    1. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 04.

    2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle.
      On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée.

  2. On admet que la fonction F définie par :Fx=-6x-14e-0,6x-1,4x est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 04.

    Calculer la valeur exacte de 04fxdx puis en donner une valeur numérique approchée.

partie b

On note 𝒞f la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle 04.

On considère la fonction g définie par : gx=4x2-4x+1 On note 𝒞g la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle 00,5.

On a tracé ci-dessous les courbes 𝒞f et 𝒞g dans un repère d'origine O et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de 𝒞f et 𝒞g par rapport à l'axe des abscisses :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Montrer que 00,5gxdx=16.

  2. On considère le domaine plan délimité par les courbes 𝒞f, 𝒞g, leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d'équation x=4.
    Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci-dessus.

    Calculer une valeur approchée de l'aire, en unités d'aire, de ce domaine.




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