sujet : Nouvelle Calédonie mars 2019

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :

1. Déterminer $f\left(0\right)$.

   Le point de coordonnées $\left(0;3\right)$ appartient à la courbe 𝒞 donc $f\left(0\right)=3$.

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2. Déterminer $f\prime \left(0\right)$. En déduire une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point A.

   Le coefficient directeur de la tangente T est égal à $-1$ donc $f\prime \left(0\right)=-1$. La tangente T a pour équation $y=-x+3$.

   ---

3. Déterminer le signe de $f\prime$ sur $\left[-2;6\right]$.

   • La courbe 𝒞 admet une tangente horizontale au point B d'abscisse $-1$ d'où $f\prime \left(-1\right)=0$.
   • Sur l'intervalle $\left[-2;-1\right]$ la fonction f est croissante d'où $f\prime \left(x\right)⩾0$ sur $\left[-2;-1\right]$.
   • Sur l'intervalle $\left[-1;6\right]$ la fonction f est décroissante d'où $f\prime \left(x\right)⩽0$ sur $\left[-1;6\right]$.

   On en déduit le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $\left[-2;6\right]$ :

x	$-2$		$-1$		6
$f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

4. Donner la convexité de f sur $\left[-2;6\right]$.

   Le point A de coordonnées $\left(0;3\right)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe 𝒞 sur l'intervalle $\left[-2;6\right]$ donc la fonction f change de convexité en 0.

   La fonction f est concave sur $\left[-2;0\right]$ et convexe sur $\left[0;6\right]$.

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5. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $I={\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   La fonction f est positive sur $\left[-2;6\right]$ par conséquent, ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine 𝒟 compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=0$.
   Par lecture graphique, l'aire du domaine 𝒟 est comprise entre l'aire de deux rectangles d'aires respectivement égales à 3 et 4 unités d'aire.

   $3⩽{\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽4$.

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partie b

La fonction f est définie par $f\left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}+1$ pour tout $x\in \left[-2;6\right]$.

1. Déterminer la valeur exacte de $f\left(6\right)$ puis en donner la valeur arrondie au centième.

   $f\left(6\right)=8{\mathrm{e}}^{-6}+1\approx \mathrm{1,02}$.

   ---

2. Montrer que, pour tout $x\in \left[-2;6\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(-x-1\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   $f=uv+1$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[-2;6\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=x+2& \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$

   Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[-2;6\right]$ : $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{-x}-\left(x+2\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}\\ & =& \left(1-x-2\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}\\ & =& \left(-x-1\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[-2;6\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-x-1\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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3. Étudier le signe de $f\prime$ sur $\left[-2;6\right]$ puis donner le tableau des variations de f sur $\left[-2;6\right]$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(-x-1\right)$. Nous pouvons établir le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ et des variations de f :

   x	$-2$		$-1$		6
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	1		$\mathrm{e}+1$		$8{\mathrm{e}}^{-6}+1$

4. Un logiciel de calcul formel donne l'information suivante :

   Dériver ($\left(-x-3\right){\mathrm{e}}^{-x}$)

   $\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$

   1. Déterminer une primitive de f sur $\left[-2;6\right]$.

      Soit F la fonction définie par $F\left(x\right)=\left(-x-3\right){\mathrm{e}}^{-x}+x$ sur $\left[-2;6\right]$. D'après le résultat obtenu à l'aide du logiciel, pour tout réel x de l'intervalle $\left[-2;6\right]$ on a :$$F\prime \left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}+1=f\left(x\right)$$

      Ainsi, pour tout $x\in \left[-2;6\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F définie par $F\left(x\right)=\left(-x-3\right){\mathrm{e}}^{-x}+x$ est une primitive de la fonction f sur $\left[-2;6\right]$.

      ---

   2. Calculer la valeur moyenne de f sur $\left[-1;0\right]$. On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième.

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$ est :$$\begin{array}{rcl}m={\displaystyle \frac{1}{0-\left(-1\right)}}\times {\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(0\right)-F\left(-1\right)\\ & =& -3-\left(-2\mathrm{e}-1\right)\\ & =& 2\mathrm{e}-2\end{array}$$

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$ est $m=2\mathrm{e}-2\approx \mathrm{3,4}$.

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