Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France métropolitaine, la Réunion 2018

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire X suivant la loi normale d'espérance μ=45 et d'écart-type σ=12.

Pour tout évènement E, on note pE sa probabilité.

  1. Déterminer, en justifiant :

    1. pX=10

    2. pX45

    3. p21X69

    4. p21X45

  2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'un client passe entre 30 et 60 minutes dans ce supermarché.

  3. Déterminer la valeur de a, arrondie à l'unité, telle que pXa=0,30. Interpréter la valeur de a dans le contexte de l'énoncé.

partie b

En 2013, une étude a montré que 89 % des clients étaient satisfaits des produits de ce supermarché.

  1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de 300 clients pris au hasard en 2013.

Lors d'une enquête réalisée en 2018 auprès de 300 clients choisis au hasard, 280 ont déclaré être satisfaits.

  1. Calculer la fréquence de clients satisfaits dans l'enquête réalisée en 2018.

  2. Peut-on affirmer, au seuil de 95 %, que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018 ? Justifier.


exercice 2 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Aucune justification n'est demandée.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Dans un établissement scolaire, 30 % des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, 40 % sont des filles. Parmi ceux n'étant pas inscrits dans un club de sport, 50 % sont des garçons.

Pour tout évènement E, on note E¯ l'évènement contraire de E et pE sa probabilité. Pour tout évènement F de probabilité non nulle, on note pFE la probabilité de E sachant que F est réalisé.

On interroge un élève au hasard et on considère les évènements suivants :

La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-dessous.

Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La probabilité pF¯S est la probabilité que l'élève soit :

    1. inscrit dans un club de sport sachant que c'est un garçon ;

    2. un garçon inscrit dans un club de sport ;

    3. inscrit dans un club de sport ou un garçon ;

    4. un garçon sachant qu'il est inscrit dans un club de sport.

  2. On admet que pF=0,47. La valeur arrondie de pFS est :

    a.   0,141

    b.   0,255

    c.   0,400

    d.   0,638

partie b

Soit g la fonction définie sur -14 par gx=-x3+3x2-1 et 𝒞g sa courbe représentative dans un repère.

  1. La tangente à la courbe 𝒞g au point d'abscisse 1 a pour équation :

    a.   y=-3x2+6x

    b.   y=3x-2

    c.   y=3x-3

    d.   y=2x-1

  2. La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle -1a est nulle pour :

    a.   a=0

    b.   a=1

    c.   a=2

    d.   a=3


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d'une hauteur de 10 m.
On mesure le niveau de l'eau chaque jour à midi.
Le 1er janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de 6,05 m.

Entre deux mesures successives, le niveau d'eau du lac évolue de la façon suivante :

  1. On modélise l'évolution du niveau d'eau du lac par une suite unn, le terme un représentant le niveau d'eau du lac à midi, en cm, n jours après le 1er janvier 2018.
    Ainsi le niveau d'eau du lac, en cm, le 1er janvier 2018 est donné par u0=605.

    1. Calculer le niveau du lac, en cm le 2 janvier 2018 à midi.

    2. Montrer que, pour tout n, un+1=1,06un-15.

  2. On pose, pour tout n, vn=un-250.

    1. Montrer que la suite vn est géométrique de raison 1,06.
      Préciser son terme initial.

    2. Montrer que, pour tout n, un=355×1,06n+250.

  3. Lorsque le niveau du lac dépasse 10 m, l'équipe d'entretien doit agrandir l'ouverture des vannes du barrage.

    1. Déterminer la limite de la suite un.

    2. L'équipe d'entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau? Justifier la réponse.

  4. Afin de déterminer la première date d'intervention des techniciens, on souhaite utiliser l'algorithme incomplet ci-dessous.

    N0
    U605

    Tant que ............. faire
    U
    NN+1
    Fin Tant que

    1. Recopier et compléter l'algorithme.

    2. À la fin de l'exécution de l'algorithme, que contient la variable N ?

    3. En déduire la première date d'intervention des techniciens sur les vannes du barrage.


exercice 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Un parcours sportif est composé d'un banc pour abdominaux, de haies et d'anneaux.

Le graphe orienté ci-contre indique les différents parcours conseillés partant de D et terminant à F.
Les sommets sont: D (départ), B (banc pour abdominaux), H (haies), A (anneaux) et F (fin du parcours).
Les arêtes représentent les différents sentiers reliant les sommets.

Graphe orienté : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Quel est l'ordre du graphe ?

  2. On note M la matrice d'adjacence de ce graphe où les sommets sont rangés dans l'ordre alphabétique.

    1. Déterminer M.

    2. On donne M3=0000000000010300000000010. Assia souhaite aller de D à F en faisant un parcours constitué de 3 arêtes.
      Est-ce possible ? Si oui, combien de parcours différents pourra-t-elle emprunter ?
      Préciser ces trajets.

  3. Assia a relevé ses temps de course en minute entre les différents sommets. Ces durées sont portées sur le graphe ci-dessous.
    Lors d'un entraînement, Assia souhaite courir le moins longtemps possible en allant de D à F. Déterminer le trajet pour lequel le temps de course est minimal et préciser la durée de sa course.

    Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie b

Le responsable souhaite ajouter une barre de traction notée T. De nouveaux sentiers sont construits et de nouveaux parcours sont possibles.

La matrice d'adjacence N associée au graphe représentant les nouveaux parcours, dans lequel les sommets sont classés en ordre alphabétique, est N=010101000100110010000000110101000101 Compléter l'annexe 1 à rendre avec la copie, en ajoutant les arêtes nécessaires au graphe orienté correspondant à la matrice N.

annexe 1

Graphe orienté à compléter : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle -24 par fx=2x+1e-2x+3.
On note 𝒞f la courbe représentative de f dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe 2.

  1. On note f la fonction dérivée de f. Montrer que, pour tout x-24, fx=-4xe-2x.

  2. Étudier les variations de f.

  3. Montrer que l'équation fx=0 admet une unique solution sur -20 et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.

  4. On note f la fonction dérivée de f. On admet que, pour tout x-24, fx=8x-4e-2x.

    1. Étudier le signe de f sur l'intervalle -24.

    2. En déduire le plus grand intervalle sur lequel f est convexe.

  5. On note g la fonction définie sur l'intervalle -24 par gx=2x+1e-2x.

    1. Vérifier que la fonction G définie pour tout x-24 par Gx=-x-1e-2x est une primitive de la fonction g.

    2. En déduire une primitive F de f.

  6. On note 𝒜 l'aire du domaine 𝒟 compris entre la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1.

    1. Hachurer le domaine 𝒟 sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.

    2. Par lecture graphique, donner un encadrement de 𝒜, en unité d'aire, par deux entiers consécutifs.

    3. Calculer la valeur exacte de 𝒜, puis une valeur approchée au centième.

annexe 2

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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