On considère la fonction f définie sur l'intervalle par .
On donne ci-dessous sa courbe représentative 𝒞.
On admet que f est deux fois dérivable sur , on note sa fonction dérivée et on admet que sa dérivée seconde est définie sur par : .
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.
Sur , 𝒞 coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse :
Pour tout réel x strictement positif,
Ainsi, . La courbe 𝒞 coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse e.
a. e | b. 2,72 | c. |
𝒞 admet un point d'inflexion d'abscisse :
La convexité de la fonction se déduit du signe de sa dérivée seconde. Étudions le signe de .
Pour tout réel x strictement positif,
Nous pouvons établir le tableau du signe de sur :
x | 0 | 3 | |||||
+ | − |
La dérivée seconde s'annule en chageant de signe pour donc la courbe 𝒞 admet un point d'inflexion d'abscisse .
a. e | b. | c. |
Pour tout nombre réel x de l'intervalle on a :
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
d'où avec pour tout réel x de l'intervalle ,
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
a. | b. | c. |
Sur l'intervalle :
Pour tout x de l'intervalle on a donc sur l'intervalle , est décroissante.
a. f est convexe | b. f est décroissante | c. est décroissante |
Une équation de la tangente à 𝒞 au point d'abscisse e s'écrit :
Une équation de la tangente T à la courbe 𝒞 au point d'abscisse e est :
Or et d'où une équation de la tangente T :
a. | b. | c. |
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