Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie 2018

corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0;3] par f(x)=x2(1-lnx).
On donne ci-dessous sa courbe représentative 𝒞.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On admet que f est deux fois dérivable sur ]0;3], on note f sa fonction dérivée et on admet que sa dérivée seconde f est définie sur ]0;3] par : f(x)=-1-2lnx.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.


  1. Sur ]0;3], 𝒞 coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse :

    Pour tout réel x strictement positif, x2(1-lnx)=01-lnx=0lnx=1x=e

    Ainsi, f(x)=0x=e. La courbe 𝒞 coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse e.

    a. e

    b. 2,72

    c. 12e+1

  2. 𝒞 admet un point d'inflexion d'abscisse :

    La convexité de la fonction se déduit du signe de sa dérivée seconde. Étudions le signe de f(x)=-1-2lnx.

    Pour tout réel x strictement positif, -1-2lnx0-2lnx1lnx-12xe-0,5x1e

    Nous pouvons établir le tableau du signe de f(x) sur ]0;3] :

    x01e3
    f(x) +0||

    La dérivée seconde s'annule en chageant de signe pour x=1e donc la courbe 𝒞 admet un point d'inflexion d'abscisse 1e.

    a. e

    b. 1e

    c. e

  3. Pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0;3] on a :

    La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
    f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle ]0;3], {u(x)=x2;u(x)=2xv(x)=1-lnx;v(x)=-1x

    Soit pour tout réel x de l'intervalle ]0;3], f(x)=2x×(1-lnx)-x2×1x=2x-2xln(x)-x=x-2xln(x)

    a. f(x)=x(1-2lnx)

    b. f(x)=-2x

    c. f(x)=-2

  4. Sur l'intervalle [1;3] :

    Pour tout x de l'intervalle [1e;3] on a f(x)0 donc sur l'intervalle [1;3], f est décroissante.

    a. f est convexe

    b. f est décroissante

    c. f est décroissante

  5. Une équation de la tangente à 𝒞 au point d'abscisse e s'écrit :

    Une équation de la tangente T à la courbe 𝒞 au point d'abscisse e est :y=f(e)×(x-e)+f(e)

    Or f(e)=0 et f(e)=-e d'où une équation de la tangente T :y=-e×(x-e)y=-ex+e2

    a. y=-x+e

    b. y=-ex

    c. y=-ex+e2


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